CLAUDIO PIZZI LEZIONI DI FILOSOFIA DELLA SCIENZA a. a. 2010­2011

la teoria degli insiemi fregeana, portava a una contraddizione,o meglio ad una
antinomia.
Abbiamo visto che normalmente gli insiemi non appartengono a se stessi,
anche se insiemi molto grandi, come l’insieme di tutti gli insiemi, godono di
questa proprietà. Chiamiamo dunque “normali” gli insiemi che non si si
autoappartengono. Per il principio di comprensione allora esiste
l’insieme di tutti e soli gli insiemi normali (cioè un insieme che contiene questi e
solo questi). Chiamiamo N questo insieme e chiediamo N ∈ N o N ∉ N? Tutte
e due le domande, come si può facilmente vedere, portano ad una contraddizione
: abbiamo quindi che N ∈ N se e solo se N ∉ N.
è falso dunque che esiste l’insieme N, il che però mette in crisi il principio di
comprensione. Si noti che questa antinomia assomiglia all’antinomia del
mentitore: “Io mento” implica che dico la verità, ed è strano che Frege non
avesse visto la difficoltà.
Russell cercò di correggere la costruzione di Frege introducendo una
gerarchizzazione degli insiemi in insiemi, insiemi di insiemi, ecc. Ciascuno di
questi appartiene a un tipo diverso, e Russell introduce la convenzione che si
può parlare di appartenenza solo di qualcosa rispetto a qualcosa di tipo superiore.
Non si può quindi mai dire che x ∈ x o x ∉ x. Le complicazioni della teoria dei
tipi furono però tali da far desistere lo stesso Russell dal continuare su questa
strada. è stato suo merito, comunque, se nei tre ponderosissimi volumi dei
Principia Mathematica (scritti insieme a A.N. Whitehead nel 1910) sono stati
poste le basi della logica contemporanea, anche nello stile notazionale che è
diverso da quello di Frege.
§2. In quegli anni il programma logicista, per quanto sostenuto dal prestigio di
Frege, Russell e Whitehead, non era l’unica risposta al problema che in quel
momento era più avvertito, quello dei fondamenti della matematica. Due altri
orientamenti di pensiero si affermavano in quegli stessi anni: quello intuizionista
di Brouwer e quello formalista di Hilbert. L’intuizionismo è di fatto
un ramo di quello che oggi viene più genericamente chiamato costruttivismo. Si
tratta dell’idea per cui un enunciato A è vero quando esiste una dimostrazione di
A, e falso quando esiste una dimostrazione di non­A, cioè una refutazione di A.