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54 Volume LXV n. 1 – Gennaio-Marzo 2011 2. Lo stimatore calibrato Su ciascuna unità del campione sono rilevate, oltre alla variabile di interesse �, una serie di variabili ausiliarie (� �1,…,�� sintetizzate dal vettore � � ��,…,��,…,�� , così per ciascuna unità campionaria si ha un vettore ��,�� composto da ��1 osservazioni. Il vettore delle informazioni ausiliarie, e in particolar modo il vettore dei totali di queste, ��∑�� ∑�� ,…,∑�� ,…,∑�� , può essere utilizzato per migliorare le stime della variabile di interesse. Deville e Särndal (1992, p. 376) in base all’idea che “…weights that perform well for the auxiliary variable also should perform well for the study variable” hanno messo a punto lo stimatore �� in grado di sfruttare l’informazione desunta da totali noti delle variabili ausiliarie, riferita alla popolazione oggetto d’indagine, per produrre stime più accurate dei parametri oggetto di studio. Lo stimatore di ponderazione vincolata, �� ∑�� , assegna a tutti gli individui campione (Lemaître e Dufour, 1987, p. 199) pesi finali �� che, per una data funzione di distanza, sono in media il più vicino possibile ai pesi base �� 1⁄ �� (dove �� è uguale alla probabilità di inclusione del primo ordine assegnata dallo stimatore di Horvitz-Thompson ��) e che rispettano un sistema di vincoli con il vettore dei totali noti � (Deville et al., 1993, p. 1013). Lo stimatore �� coincide asintoticamente con lo stimatore di regressione generalizzato �� quando la funzione utilizzata per misurare la distanza tra i pesi �� e �� è lineare in � (Deville e Särndal, 1992, pp.377-380; Singh e Mohl, 1996, pp. 108-114). Questo risultato è fondamentale per arrivare a determinare un’espressione analitica della varianza di �� . La varianza asintotica dello stimatore ��, seguendo Deville e Särndal (1992, pp. 379-380), coincide con quella dello stimatore �� e una stima corretta di tale quantità è: �� Δ�� ̂� �̂� �� (1) �� dove �̂ � sono i residui del modello di regressione per la generica unità � e Δ �� . 3. La varianza dello stimatore �� con vincoli campionari Lo stimatore ��, nella definizione originaria, garantisce la coerenza con una fonte esterna (amministrativa o censuaria) priva di errore campionario in quanto la stima dei totali è vincolata con certezza ad un vettore � di totali noti. È possibile, tuttavia, vincolare la stima dei totali al vettore �� ,…,�� ,…,�� di stime delle � � � �
Rivista Italiana di Economia Demografia e Statistica 55 medesime quantità ottenute da un’altra indagine (Deville, 1999, p. 207). In questo caso sia il vettore che si stima con i dati del campione �� , sia il vettore dei totali noti �� , a cui si vincola tale stima, sono affetti da errore campionario. Questo non comporta variazioni nell’espressione dello stimatore del totale, ma rende necessario studiare ulteriormente le proprietà, ed in particolare la varianza dello stimatore calibrato con vincoli campionari (�� ), poiché non è detto che le stime ottenute attraverso la calibrazione con altre stime siano più efficienti. Le proprietà dello stimatore �� possono essere studiate facendo ricorso alla convergenza asintotica di �� allo stimatore �� seguendo un approccio condizionato e non condizionato (Ballin et al., 2000, pp. 48-51). Nell’approccio non condizionato si assume che il vettore delle stime �� sia una costante e, quindi, la varianza campionaria dello stimatore �� è uguale a quella della (1). Questa ipotesi fa sì che lo stimatore sia vincolato a totali che, in quanto stime, potrebbero risultare distorti. È necessario, dunque, valutare la sua varianza ed anche la sua distorsione, �� . Di conseguenza, il suo �� è: �� Δ �� ̂� �̂� �� . (2) Nell’ottica condizionata, invece, si valutano le proprietà dello stimatore tenendo conto anche della variabilità delle stime desunte dalla fonte esterna campionaria. Tenendo conto dei totali delle variabili ausiliarie desunte da altre indagini, e quindi affette anch’esse da errore campionario, lo stimatore di regressione �� HT�, diventa: �� HT�. (3) La (3) può essere scissa (Ballin et al., 2000, p. 48) nella somma di due elementi: �� HT� che coincide con lo stimatore �� e �� uguale a �� . Nel caso in cui le due indagine siano indipendenti tra loro, seguendo Ballin et al. (2000), anche le quantità �� e �� sono indipendenti e una stima asintoticamente corretta della varianza è: �� ̂� �̂� �� Δ �� Β� �� Β�Β�� ,�� dove, il primo termine misura l’errore nella stima della variabile � per l’indagine in questione ed è uguale alla varianza (1), e gli altri due misurano l’errore aggiuntivo che si commette vincolando la stima dei totali delle variabili ausiliarie ad un’altra indagine affetta a sua volta da errore campionario. Le componenti � .. sono i (4)
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