CUPRINS

3.4. Mişcarea oscilatorie amortizată
Sistemele oscilante reale sunt supuse unor forţe de frânare, sau de disipare a energiei pe care-o au
la începutul mişcării. Acea parte a energiei ce se pierde prin frecare se transformă în căldură.
Ampltudinea mişcării oscilatorii amortizate este scăzătoare în timp. Un caz interesant de forţe de frânare
îl constituie forţele proporţionale cu viteza de oscilaţie. Modulul unei forţe proporţionale cu viteza de
mişcare şi opusă acesteia se poate scrie sub forma:
unde ρ este coeficientul de rezistenţă mecanică.
F f
= −ρv
(3.40)
Rezultanta forţelor la care este supus un sistem fizic format dintr-un resort elastic de constantă elastică k
şi un punct material, de masă m, este:
ma = −ky
− ρv
(3.41)
Dacă împărţim prin m şi ţinem cont că viteza este prima derivată la timp a elongaţiei y, iar acceleraţia
este a doua derivată la timp a acesteia, obţinem ecuaţia diferenţială:
••
ρ
•
k
y + y+
y = 0
(3.42)
m m
Această relaţie constituie ecuaţia de mişcare a sistemului ce efectuează oscilaţii amortizate. Pentru
simplificarea calculelor, facem următoarele notaţii:
ω = k
0
m
(3.43.a)
ρ
2β =
(3.43.b)
m
unde ω 0 reprezintă pulsaţia proprie a oscilatorului ideal, iar β se numeşte coeficient de amortizare.
Cu aceste notaţii ecuaţia de mişcare (3.42) devine:
•• •
2
y + 2β
y + ω 0
y = 0
(3.44)
Ecuaţia de mişcare, scrisă sub forma (3.44), este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi. Soluţiile ecuaţiei
(3.44) sunt de forma generală:
r t
y (t) = e
(3.45)
Înlocuim această soluţie în ecuaţia (3.44) şi obţinem ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale:
r
2
2
+ 2βr
+ ω = 0
(3.46)
Ecuaţia caracteristică, fiind o ecuaţie de gradul doi în r, are soluţii de forma:
0
r1,2
2 2
= −β ± β − ω0
(3.47)
În funcţie de valorile coeficientului de amortizare β, în raport cu pulsaţia proprie ω 0 , deosebim mai multe
cazuri particulare:
44