CUPRINS

Legea lui Gauss poate fi enunţată şi astfel: Fluxul electric printr-o suprafaţă închisă, de formă arbitrară,
este numeric egal cu ε
1 înmulţit cu suma algebrică a sarcinilor electrice aflate în interiorul suprafeţei.
Fluxul electric este nul, dacă suprafaţa închisă nu conţine sarcini electrice.
4.2.4. Forma locală diferenţială a legii lui Gauss
Prima ecuaţie Maxwell
Considerăm o sarcină electrică q distribuită într-un volum V. Atunci se defineşte densitatea de sarcină
electrică ρ ca fiind sarcina electrică din unitatea de volum:
dq
ρ =
(4.24)
dV
C
Densitatea de sarcină electrică se exprimă în 1 . Astfel, dacă se cunoaşte densitatea de sarcină
3
m
electrică, se poate calcula sarcina electrică dint-un volum V prin integrala:
q ∫ ρ dV
(4.25)
=
V
Să considerăm volumul V, închis de suprafaţa S, în care se află sarcină electrică cu densitatea volumică
ρ, aşa cum se poate vedea în fig. 4.14. Folosind formula matematică Gauss-Ostrogradski, ce transformă
integrala pe suprafaţa închisă S din legea lui Gauss într-o integrală pe volumul pe care-l închide aceasta,
obţinem fluxul electric sub forma:
Φ
e
=
∫
S
r v
E dS =
∫
V
r
∇E
dV
Unde, prin∇ E r
, am notat divergenţa vectorului E r .
(4.26)
Operaţia de divergenţă a unui vector constă în următoarele: Considerăm un vector având componenetele
r r r r
E x , E y şi E z ( E = E i + E j + E k). Prin operaţia de divergenţă se obţine scalarul:
x
y
z
∂E
∂E
x y ∂E
z
∇E
r = + +
(4.27)
∂x
∂y
∂z
Revenind la legea lui Gauss, substituim relaţiile (4.26) şi (4.25) în (4.22) şi obţinem:
Φ
e
=
∫
S
r v
E dS =
∫
V
r q 1
∇E dV = =
ε ε
∫
V
ρ dV
(4.28)
94