Grassmann Algebra

TheRegressiveProduct.nb 24
Y � CreateBasisForm�3, y�
y1 e1 � e2 � e3 � y2 e1 � e2 � e4 � y3 e1 � e3 � e4 � y4 e2 � e3 � e4
Note that the GrassmannAlgebra function CreateBasisForm automatically declares the
coefficients of the form xi and yi to be scalars by declaring the patterns x_ and y_ to be
scalars. We can check this by entering Scalars and observing that the patterns have been
added to the default list of scalars.
Scalars
�a, b, c, d, e, f, g, h, �, �_ � _�? InnerProductQ, x_, y_, _� 0
Next, we calculate the regressive product of these two 3-elements. We can use
GrassmannSimplify since it will convert regressive products of basis elements.
Z � ��X � Y�
� �x2 y1 � x1 y2� e1 � e2
�������������������������������� ������������������� �
�
�x3 y1 � x1 y3� e1 � e3
�������������������������������� ������������������� �
�
�x3 y2 � x2 y3� e1 � e4
�������������������������������� ������������������� �
�
�x4 y1 � x1 y4� e2 � e3
�������������������������������� ������������������� �
�
�x4 y2 � x2 y4� e2 � e4
�������������������������������� ������������������� �
�
�x4 y3 � x3 y4� e3 � e4
�������������������������������� �������������������
�
We want to extract the coefficients of these terms. Here we use the GrassmannAlgebra function
ExtractFlesh.
�A1, A2, A3, A4, A5, A6� � Z �� ExtractFlesh
� �x2 y1 � x1 y2
��������������������������������� ,
�
�x3 y1 � x1 y3
��������������������������������� ,
�
�x3 y2 � x2 y3
��������������������������������� ,
�
�x4 y1 � x1 y4
��������������������������������� ,
�
�x4 y2 � x2 y4
��������������������������������� ,
�
�x4 y3 � x3 y4
��������������������������������� �
�
Finally we substitute these coefficients into the constraint equation for simplicity of 2-elements
in a 4-space discussed in Section 2.10, Chapter 2, to show that the constraint is satisfied.
Simplify�A3 A4 � A2 A5 � A1 A6 � 0�
True
The cobasis form of the Common Factor Axiom
The Common Factor Axiom has a significantly suggestive form when written in terms of
cobasis elements. This form will later help us extend the definition of interior product to
arbitrary elements.
We start with three basis elements whose exterior product is equal to the basis n-element.
ei
m
� ej
k
� es
p
� e1 � e2 � � � en � 1� � 1
�����
� �1 n
The Common Factor Axiom can be written for these basis elements as:
2001 4 5