Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 30
S � GrassmannSolve�Q, �Α, Β, x��
��Α �C2 � y ��31 � 36 C1
2 � 11 C2� �������������������������������� ��������������������� ,
12 C2
18 �
����������������������
�11 � C2 � y ����
2 �
2 � C2
108 C1
� ����������������������������
��11 � C2 2
2� �
12
��������������������
�11 � C2 2 �
6C2 �
�������������������� ���� �11 � C2 2 �
,
x � yC1 � 1 2
���� �5 � C2��, �Α �yC3, Β�
6 18 203 y 5 31 y
������� � �������������� ,x� ���� � �����������
11 121 6 36 ��
Again we get two solutions, but this time involving some arbitrary scalar constants.
��Q �. S���Simplify
��True, True�, �True, True��
9.7 Exterior Division
� Defining exterior quotients
An exterior quotient of two Grassmann numbers X and Y is a solution Z to the equation:
X � Y � Z
or to the equation:
X � Z � Y
To distinguish these two possibilities, we call the solution Z to the first equation X�Y�Z the left
exterior quotient of X by Y because the denominator Y multiplies the quotient Z from the left.
Correspondingly, we call the solution Z to the second equation X�Z�Y the right exterior
quotient of X by Y because the denominator Y multiplies the quotient Z from the right.
To solve for Z in either case, we can use the GrassmannSolve function. For example if X
and Y are general elements in a 2-space, the left exterior quotient is obtained as:
�2; X� CreateGrassmannNumber�Ξ�;
Y � CreateGrassmannNumber�Ψ�;
GrassmannSolve�X � Y � Z, �Z��
��Z � Ξ0
�������
Ψ0
� e1 ��Ξ1 Ψ0 �Ξ0 Ψ1�
�������������������������������� �������������
Ψ2 �
0
e2 ��Ξ2 Ψ0 �Ξ0 Ψ2�
�������������������������������� ������������� �
Ψ2 0 ��Ξ3 Ψ0 �Ξ2 Ψ1 �Ξ1 Ψ2 �Ξ0 Ψ3� e1 � e2
�������������������������������� ��������������������������������
Ψ2 0
Whereas the right exterior quotient is obtained as:
2001 4 5
������������������������ ��