Grassmann Algebra

ExplorGrassmannMatrixAlgebra.nb 24
A � ��1, x�, �y, 1��; MatrixForm�A�
1 x
�
y 1 �
The inverse of A is:
iA � GrassmannMatrixInverse�A�; MatrixForm�iA�
1 � x � y �x
�
�y 1�x�y �
We can check that this is indeed the inverse.
�����A � iA�, ��iA � A���
���1, 0�, �0, 1��, ��1, 0�, �0, 1���
As a second example we take a somewhat more complex matrix.
A � ��1 � e1 ,2,e3 � e2�, �3, e2 � e4 ,e4 �, �e2 ,e1 ,1� e4 � e1 ��;
MatrixForm�A�
� 1 � e1 2 e3�e2 �������
��������
3 e2�e4 e4
� e2 e1 1 � e4 � e1 �
iA � GrassmannMatrixInverse�A� ��Simplify
�� 1
���� ���e1 � e4 � � e2 � e4 �,
6 1
�������
18 �6 � e1 � e4 � e2 � e4 � e1 � e2 � e4�, � e4
������� �,
3
� 1
�������
12 �6 � e1 � e4 � e2 � e4 � 3e1 � e2 � e3 � e1 � e2 � e4 �,
1
�������
36 ��6 � 6e1 � e1 � e4 � e2 � e4 � 3e1 � e2 � e3 �,
1
����
6 �e4 � e1 � e4 � 3e2 � e3��,
� 1
���� ��2e1 � e1 � e2 � e4 �,
4 1
�������
36 �6e1 � 12 e2 � 13 e1 � e2 � e4 �,
1
���� �6 � 5e1 � e4 � 2e2 � e4 � 3e1 � e2 � e3���
6
We check that this is indeed the inverse
2001 4 26
�����A � iA�, ��iA � A���
���1, 0, 0�, �0, 1, 0�, �0, 0, 1��,
��1, 0, 0�, �0, 1, 0�, �0, 0, 1���