Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 39
� Powers of Grassmann numbers
The computation of powers of Grassmann numbers has already been discussed in Section 9.5.
We can also calculate powers of Grassmann numbers using the GrassmannFunction
operation. The syntax we will usually use is:
GrassmannFunction�X a �
Ξ 0 a � ae1 Ξ 0 �1�a Ξ1 � ae2 Ξ 0 �1�a Ξ2 � ae3 Ξ 0 �1�a Ξ3 �
a Ξ 0 �1�a Ξ4 e1 � e2 � a Ξ 0 �1�a Ξ5 e1 � e3 � a Ξ 0 �1�a Ξ6 e2 � e3 �
�Ξ 0 �2�a ��a � a 2 � Ξ2 Ξ5 � ��a � a 2 ��Ξ3 Ξ4 �Ξ1 Ξ6�� � a Ξ 0 �1�a Ξ7�
e1 � e2 � e3
GrassmannFunction�X �1 �
1
�������
Ξ0
� e1 Ξ1
�������������
Ξ2 0
Ξ6 e2 � e3
����������������������� 2 Ξ0 � e2 Ξ2
�������������
Ξ2 0
� e3 Ξ3
�������������
Ξ2 0
� Ξ4 e1 � e2
�����������������������
Ξ2 0
� ���
�
�2 Ξ2 Ξ5 � 2 �Ξ3 Ξ4 �Ξ1 Ξ6�
�������������������������������� 3�������������������������������
Ξ0 � Ξ5 e1 � e3
�����������������������
Ξ2 �
0
�
�
� Ξ7
������� �� 2
e1 � e2 � e3
Ξ0 But we can also use GrassmannFunction��x a ,x�, X�,
�# a &��X� ��GrassmannFunction or GrassmannPower[X,a] to get the same result.
� Exponential and logarithmic functions of Grassmann numbers
Exponential functions
Here is the exponential of a general Grassmann number in 3-space.
expX � GrassmannFunction�Exp�X��
� Ξ0 �� Ξ0 e1 Ξ1 �� Ξ0 e2 Ξ2 �� Ξ0 e3 Ξ3 �� Ξ0 Ξ4 e1 � e2 �� Ξ0 Ξ5 e1 � e3 �
� Ξ0 Ξ6 e2 � e3 �� Ξ0 �Ξ3 Ξ4 �Ξ2 Ξ5 �Ξ1 Ξ6 �Ξ7� e1 � e2 � e3
Here is the exponential of its negative.
expXn � GrassmannFunction�Exp��X��
� �Ξ0 �� �Ξ0 e1 Ξ1 �� �Ξ0 e2 Ξ2 �� �Ξ0 e3 Ξ3 �
� �Ξ0 Ξ4 e1 � e2 �� �Ξ0 Ξ5 e1 � e3 �� �Ξ0 Ξ6 e2 � e3 �
� �Ξ0 �Ξ3 Ξ4 �Ξ2 Ξ5 �Ξ1 Ξ6 �Ξ7� e1 � e2 � e3
We verify that they are indeed inverses of one another.
2001 4 5
��expX � expXn� ��Simplify
1