Grassmann Algebra

ExploringCliffordAlgebra.nb 45
C5 � C4 �. Thread�First�C4 � � Basis���� �.
Thread��First�C4� ��Basis����
��1, e1 ,e2 ,e3 ,e1 � e2 ,e1 � e3 ,e2 � e3, e1 � e2 � e3 �,
�e1 ,1,e1 � e2 ,e1 � e3 ,e2, e3 ,e1 � e2 � e3 ,e2 � e3 �,
�e 2 , ��e1 � e2 �, 1,e2 � e3 , �e1 , ��e1 � e2 � e3 �, e3, ��e1 � e3��,
�e 3 , ��e 1 � e 3 �, ��e 2 � e 3 �, 1,e 1 � e 2 � e 3 , �e 1 , �e 2 ,e 1 � e 2 �,
�e1 � e2, �e2 ,e1 ,e1 � e2 � e3 , �1, ��e2 � e3�, e1 � e3 , �e3 �,
�e 1 � e3, �e3 , ��e1 � e2 � e3�, e1 ,e2 � e3 , �1, ��e1 � e2 �, e2 �,
�e2 � e3, e1 � e2 � e3 , �e3 ,e2 , ��e1 � e3�, e1 � e2 , �1, �e1 �,
�e 1 � e2 � e3 ,e2 � e3 , ��e1 � e3 �, e1 � e2 , �e3, e2 , �e1 , �1��
Step 4: Verification
Verify that this is the table with which we began.
C 5 � C 2
True
� ��3 � : The Quaternions
Multiplication of two even elements always generates an even element, hence the even elements
form a subalgebra. In this case the basis for the subalgebra is composed of the unit 1 and the
bivectors ei � ej .
C4 � EvenCliffordProductTable�� ��
CliffordToOrthogonalScalarProducts ��
ToMetricForm; PaletteForm�C4 �
1 e1 � e2 e1 � e3 e2 � e3
e1 � e2 �1 ��e2 � e3 � e1 � e3
e1 � e3 e2 � e3 �1 ��e1 � e2 �
e2 � e3 ��e1 � e3 � e1 � e2 �1
From this multiplication table we can see that the even subalgebra of the Clifford algebra of 3space
is isomorphic to the quaternions. To see the isomorphism more clearly, replace the
bivectors by �, �, and �.
2001 4 26
C5 � C4 �. �e2 � e3 � �, e1 � e3 � �, e1 � e2 � ��; PaletteForm�C5 �
1 � � �
� �1 �� �
� � �1 ��
� �� � �1