Grassmann Algebra

ExploringCliffordAlgebra.nb 51
� ��1,3 : The Dirac algebra
To generate the Dirac algebra we need the Minkowski metric in which there is one time-like
basis element e1 ���� e1 ��1, and three space-like basis elements ei ���� ei ��1.
�e1 ���� e1 � 1, e2 ���� e2 ��1, e3 ���� e3 ��1, e4 ���� e4 ��1�
To generate the Clifford product table for this metric we enter:
�4; DeclareMetric�DiagonalMatrix��1, �1, �1, �1���
��1, 0, 0, 0�, �0, �1, 0, 0�, �0, 0, �1, 0�, �0, 0, 0, �1��
C6 � CliffordToOrthogonalScalarProducts�C1 ���ToMetricForm;
PaletteForm�C6 �
1 e1 e2 e3
e1 1 e1 � e2 e1 � e3 e1
e2 ��e1 � e2 � �1 e2 � e3 e2
e3 ��e1 � e3 � ��e2 � e3 � �1 e3
e4 ��e1 � e4 � ��e2 � e4 � ��e3 � e4 �
e1 � e2 �e2 �e1 e1 � e2 � e3 e1 �
e1 � e3 �e3 ��e1 � e2 � e3 � �e1 e1 �
e1 � e4 �e4 ��e1 � e2 � e4 � ��e1 � e3 � e4 � �
e2 � e3 e1 � e2 � e3 e3 �e2 e2 �
e2 � e4 e1 � e2 � e4 e4 ��e2 � e3 � e4 � �
e3 � e4 e1 � e3 � e4 e2 � e3 � e4 e4 �
e1 � e2 � e3 e2 � e3 e1 � e3 ��e1 � e2 � e1 � e2
e1 � e2 � e4 e2 � e4 e1 � e4 ��e1 � e2 � e3 � e4 � ��e1
e1 � e3 � e4 e3 � e4 e1 � e2 � e3 � e4 e1 � e4 ��e1
e2 � e3 � e4 ��e1 � e2 � e3 � e4 � ��e3 � e4 � e2 � e4 ��e2
e1 � e2 � e3 � e4 ��e2 � e3 � e4� ��e1 � e3 � e4 � e1 � e2 � e4 ��e1 �
To confirm that this structure is isomorphic to the Dirac algebra we can go through the same
procedure that we followed in the case of the Pauli algebra.
2001 4 26