Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 10
��Z1�
Ξ7 Ψ0 �Ξ6 Ψ1 �Ξ5 Ψ2 �Ξ4 Ψ3 �Ξ3 Ψ4 �Ξ2 Ψ5 �Ξ1 Ψ6 �Ξ0 Ψ7 �
e1 �Ξ7 Ψ1 �Ξ5 Ψ4 �Ξ4 Ψ5 �Ξ1 Ψ7� � e2 �Ξ7 Ψ2 �Ξ6 Ψ4 �Ξ4 Ψ6 �Ξ2 Ψ7� �
e3 �Ξ7 Ψ3 �Ξ6 Ψ5 �Ξ5 Ψ6 �Ξ3 Ψ7� � �Ξ7 Ψ4 �Ξ4 Ψ7� e1 � e2 �
�Ξ7 Ψ5 �Ξ5 Ψ7� e1 � e3 � �Ξ7 Ψ6 �Ξ6 Ψ7� e2 � e3 �Ξ7 Ψ7 e1 � e2 � e3
� The complement of a Grassmann number
Consider again a general Grassmann number X in 3-space.
X
Ξ0 � e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 �Ξ4 e1 � e2 �
Ξ5 e1 � e3 �Ξ6 e2 � e3 �Ξ7 e1 � e2 � e3
The complement of X is denoted X
����� . Entering X
����� applies the complement operation, but does
not simplify it in any way.
�����
X
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Ξ0 � e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 �Ξ4 e1 � e2 �Ξ5 e1 � e3 �Ξ6 e2 � e3 �Ξ7 e1 � e2 �
Further simplification to an explicit Grassmann number depends on the metric of the space
concerned and may be accomplished by applying GrassmannSimplify.
GrassmannSimplify will look at the metric and make the necessary transformations. In the
Euclidean metric assumed by GrassmannAlgebra as the default we have:
�� X
����� �
e3 Ξ4 � e2 Ξ5 � e1 Ξ6 �Ξ7 �Ξ3 e1 � e2 �
Ξ2 e1 � e3 �Ξ1 e2 � e3 �Ξ0 e1 � e2 � e3
For metrics other than Euclidean, the expression for the complement will be more complex. We
can explore the complement of a general Grassmann number in a general metric by entering
DeclareMetric[�] and then applying GrassmannSimplify to X
����� . As an example, we
take the complement of a general Grassmann number in a 2-space with a general metric. We
choose a 2-space rather than a 3-space, because the result is less complex to display.
2001 4 5
�2; DeclareMetric���
���1,1, �1,2�, ��1,2, �2,2��
U � CreateGrassmannNumber�Υ�
Υ0 � e1 Υ1 � e2 Υ2 �Υ3 e1 � e2
�� U
����� ���Simplify
2
��Υ3 �1,2 � e2 �Υ1 �1,1 �Υ2 �1,2� �Υ3 �1,1 �2,2 �
e1 �Υ1 �1,2 �Υ2 �2,2� �Υ0 e1 � e2� ����������������������������������������� 2 ��1,2 � �1,1 �2,2 �