Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 31
GrassmannSolve�X � Z � Y, �Z��
��Z � Ξ0
�������
Ψ0
� e1 ��Ξ1 Ψ0 �Ξ0 Ψ1�
�������������������������������� 2 ������������� �
Ψ0 e2 ��Ξ2 Ψ0 �Ξ0 Ψ2�
�������������������������������� �������������
Ψ2 �
0 ��Ξ3 Ψ0 �Ξ2 Ψ1 �Ξ1 Ψ2 �Ξ0 Ψ3� e1 � e2
�������������������������������� ��������������������������������
Ψ2 0
Note the differences in signs in the e1 � e2 term.
To obtain these quotients more directly, GrassmannAlgebra provides the functions
LeftGrassmannDivide and RightGrassmannDivide.
? LeftGrassmannDivide
LeftGrassmannDivide�X,Y� calculates
the Grassmann number Z such that X �� Y�Z.
? RightGrassmannDivide
RightGrassmannDivide�X,Y� calculates
the Grassmann number Z such that X �� Z�Y.
������������������������ ��
A shorthand infix notation for the division operation is provided by the down-vector symbol
LeftDownVector � (LeftGrassmannDivide) and RightDownArrow �
(RightGrassmannDivide). The previous examples would then take the form
X �Y
Ξ0
������� �
Ψ0
e1 ��Ξ1 Ψ0 �Ξ0 Ψ1�
�������������������������������� 2 ������������� �
Ψ0 e2 ��Ξ2 Ψ0 �Ξ0 Ψ2�
�������������������������������� 2 �������������
Ψ0 ��Ξ3 Ψ0 �Ξ2 Ψ1 �Ξ1 Ψ2 �Ξ0 Ψ3� e1 � e2
�������������������������������� �������������������������������� ������������������������
Ψ2 0
X �Y
Ξ0 ������� �
Ψ0
e1 ��Ξ1 Ψ0 �Ξ0 Ψ1�
�������������������������������� 2 ������������� �
Ψ0 e2 ��Ξ2 Ψ0 �Ξ0 Ψ2�
�������������������������������� 2 �������������
Ψ0 ��Ξ3 Ψ0 �Ξ2 Ψ1 �Ξ1 Ψ2 �Ξ0 Ψ3� e1 � e2
�������������������������������� �������������������������������� ������������������������
Ψ2 0
� Special cases of exterior division
The inverse of a Grassmann number
The inverse of a Grassmann number may be obtained as either the left or right form quotient.
2001 4 5
�1 �X, 1� X�
� 1
�������
Ξ0
� e1 Ξ1
�������������
Ξ2 0
� e2 Ξ2
�������������
Ξ2 0
� Ξ3 e1 � e2
�����������������������
Ξ2 ,
0 1
�������
Ξ0
� e1 Ξ1
�������������
Ξ2 0
�
�
� e2 Ξ2
�������������
Ξ2 0
� Ξ3 e1 � e2
Ξ2 0
����������������������� �