Grassmann Algebra

ExplorGrassmannMatrixAlgebra.nb 10
� The complement of a matrix
Since the complement is a linear operation, the complement of a matrix is just the matrix of
the complements of the elements.
�����
M �� MatrixForm
������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������
� a1,1 ����
� e1 b1,1 � e2 c1,1 � d1,1 e1 � e2 a1,2 � e1 b1,2 � e2 c1,2 � d1,2 e1 � e2
������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������
� a2,1 � e1 b2,1 � e2 c2,1 � d2,1 e1 � e2 a2,2 � e1 b2,2 � e2 c2,2 � d2,2 e1 � e2
�����
�
This can be simplified by using GrassmannSimplify. In a Euclidean space this gives:
�� M
����� ���MatrixForm
� e2 b1,1 � e1 c1,1 � d1,1 � a1,1 e1 � e2 e2 b1,2 � e1 c1,2 � d1,2 � a1,2 e1 � e2
�
e2 b2,1 � e1 c2,1 � d2,1 � a2,1 e1 � e2 e2 b2,2 � e1 c2,2 � d2,2 � a2,2 e1 � e2
� Matrix products
As with the product of two Grassmann numbers, entering the product of two matrices of
Grassmann numbers, does not effect any multiplication. For example, take the matrix A in a
2-space created in the previous section.
MatrixForm�A��MatrixForm�A�
2 � 3e1 e1 � 6e2 2 � 3e1 e1 � 6e2
�
���
�
5 � 9e1 � e2 e2 � e1 � e2 5 � 9e1 � e2 e2 � e1 � e2
To multiply out the product A�A, we use the GrassmannAlgebra MatrixProduct function
which performs the multiplication. The short-hand for MatrixProduct is a script capital M
�, obtained by typing �scM�.
��A � A�
���2 � 3e1 ���2 � 3e1 � � �e1 � 6e2 ���5 � 9e1 � e2�,
�2 � 3e 1 ���e1 � 6e2 � � �e1 � 6e2 ���e2 � e1 � e2 ��,
��5 � 9e1 � e2 ���2 � 3e1 � � �e2 � e1 � e2 ���5 � 9e1 � e2�,
�5 � 9e1 � e2 ���e1 � 6e2 � � �e2 � e1 � e2 ���e2 � e1 � e2 ���
To take the product and simplify at the same time, apply the GrassmannSimplify function.
2001 4 26