Grassmann Algebra

ExplorGrassmannMatrixAlgebra.nb 12
Clifford products
The Clifford product of two matrices can be calculated in stages. First we multiply the
elements and expand and simplify the terms with GrassmannSimplify.
C1 � ����A � A��
��2 � 2 � 32� e1 � 3e1 � 2 � e1 � 5 � 9e1 � e1 � 9e1 � �e1 � e2 � �
6e2 � 5 � 54 e2 � �e1 � e2 �, 2� e1 � 62� e2 � 3e1 � e1 �
19 e 1 � e2 � e1 � �e1 � e2 � � 6e2 � e2 � 6e2 � �e1 � e2 ��,
�5 � 2 � 35� e1 � e2 � 5 � 9e2 � �e1 � e2 � � 9 �e1 � e2� � 2 �
�e 1 � e2 � � 5 � 27 �e1 � e2 � � e1 � 9 �e1 � e2 � � �e1 � e2 �,
5 � e1 � 65� e2 � e2 � e2 � e2 � �e1 � e2 � � 9 �e1 � e2 � � e1 �
53 �e1 � e2� � e2 � �e1 � e2� � �e1 � e2���
Next we can convert the Clifford products into exterior and scalar products with
ToScalarProducts.
C2 � ToScalarProducts�C1�
��4 � 9 �e 1 � e 1 � � 17 e 1 � 9 �e 1 � e 2 � e 1 �
54 �e2 � e2� e1 � 30 e2 � 9 �e1 � e1 � e2 � 54 �e1 � e2 � e2 ,
3 �e1 � e1 � � 19 �e1 � e2 � � 6 �e2 � e2 � � 2e1 � �e1 � e2 � e1 �
6 �e 2 � e2 � e1 � 12 e2 � �e1 � e1 � e2 � 6 �e1 � e2 � e2 � 19 e1 � e2 �,
�10 � 9 �e 1 � e2 � 2 � 9 �e1 � e1 ��e2 � e2 � � 15 e1 � 27 �e1 � e2 � e1 �
9 �e2 � e2 � e1 � 5e2 � 27 �e1 � e1 � e2 � 9 �e1 � e2� e2 � 13 e1 � e2 ,
�e1 � e2� 2 � e2 � e2 � �e1 � e1��e2 � e2 � � 5e1 � 9 �e1 � e2 � e1 �
54 �e 2 � e 2� e 1 � 30 e 2 � 9 �e 1 � e 1 � e 2 � 54 �e 1 � e 2 � e 2 ��
Finally, if we are in a Euclidean space, this simplifies significantly.
2001 4 26
ToMetricForm�C2� ��MatrixForm
13 � 71 e1 � 21 e2
�
19 � 24 e1 � 32 e2 � 13 e1 � e2
9 � 4e1 � 13 e2 � 19 e1 � e2
�
�49 e1 � 39 e2