Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 40
Logarithmic functions
The logarithm of X is:
GrassmannFunction�Log�X��
Log�Ξ0� � e1 Ξ1
�������������
Ξ0
Ξ6 e2 � e3
�����������������������
Ξ0
� e2 Ξ2
�������������
Ξ0
� e3 Ξ3
�������������
Ξ0
� ���
�
�Ξ3 Ξ4 �Ξ2 Ξ5 �Ξ1 Ξ6
�������������������������������� �����������������
Ξ2 0
� Ξ4 e1 � e2
�����������������������
Ξ0
�
�
� Ξ5 e1 � e3
�����������������������
Ξ0
� Ξ7
������� �� e1 � e2 � e3
Ξ0
We expect the logarithm of the previously calculated exponential to be the original number X.
Log�expX� ��GrassmannFunction �� Simplify �� PowerExpand
Ξ0 � e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 �Ξ4 e1 � e2 �
Ξ5 e1 � e3 �Ξ6 e2 � e3 �Ξ7 e1 � e2 � e3
� Trigonometric functions of Grassmann numbers
Sines and cosines of a Grassmann number
We explore the classic trigonometric relation Sin�X� 2 � Cos�X� 2 � 1and show that even
for Grassmann numbers this remains true.
s2X � GrassmannFunction��Sin�x� 2 ,x�, X�
Sin�Ξ0� 2 � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� e1 Ξ1 � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� e2 Ξ2 �
2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� e3 Ξ3 � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� Ξ4 e1 � e2 �
2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� Ξ5 e1 � e3 � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� Ξ6 e2 � e3 �
���2 Cos�Ξ0� 2 � 2 Sin�Ξ0� 2 � Ξ2 Ξ5 � �2 Cos�Ξ0� 2 � 2 Sin�Ξ0� 2 �
�Ξ3 Ξ4 �Ξ1 Ξ6� � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� Ξ7� e1 � e2 � e3
c2X � GrassmannFunction��Cos�x� 2 ,x�, X�
Cos�Ξ0� 2 � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� e1 Ξ1 � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� e2 Ξ2 �
2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� e3 Ξ3 � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� Ξ4 e1 � e2 �
2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� Ξ5 e1 � e3 � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� Ξ6 e2 � e3 �
��2 Cos�Ξ0�2 � 2 Sin�Ξ0� 2 � Ξ2 Ξ5 � ��2 Cos�Ξ0�2 � 2 Sin�Ξ0� 2 �
�Ξ3 Ξ4 �Ξ1 Ξ6� � 2 Cos�Ξ0� Sin�Ξ0� Ξ7� e1 � e2 � e3
��s2X � c2X � 1� ��Simplify
True
The tangent of a Grassmann number
Finally we show that the tangent of a Grassmann number is the exterior product of its sine and
its secant.
2001 4 5
�