Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 21
Xr � A �. S
1
�������
Ξ0
� e1 Ξ1
�������������
Ξ2 0
Ξ6 e2 � e3 �����������������������
Ξ2 0
� e2 Ξ2
�������������
Ξ2 0
� e3 Ξ3
�������������
Ξ2 0
� Ξ4 e1 � e2
�����������������������
Ξ2 0
� Ξ5 e1 � e3
�����������������������
Ξ2 �
0
� �2 Ξ3 Ξ4 � 2 Ξ2 Ξ5 � 2 Ξ1 Ξ6 �Ξ0 Ξ7� e1 � e2 � e3
�������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� ����������
To verify that this is indeed the inverse and that the inverse commutes, we calculate the
products of X and Xr
���X � Xr, Xr � X�� �� Simplify
�1, 1�
To avoid having to rewrite the coefficients for the Solve equations, we can use the
GrassmannAlgebra function GrassmannSolve (discussed in Section 9.6) to get the same
results. To use GrassmannSolve we only need to enter a single undefined symbol (here we
have used Y)for the Grassmann number we are looking to solve for.
GrassmannSolve�X � Y � 1, Y�
��Y � 1
�������
Ξ0
� e1 Ξ1
�������������
Ξ2 0
Ξ6 e2 � e3
�����������������������
Ξ 0 2
� e2 Ξ2
�������������
Ξ2 0
� e3 Ξ3
�������������
Ξ2 0
Ξ 0 3
� Ξ4 e1 � e2
�����������������������
Ξ2 0
� Ξ5 e1 � e3
�����������������������
Ξ2 �
0
� ��2 Ξ3 Ξ4 � 2 Ξ2 Ξ5 � 2 Ξ1 Ξ6 �Ξ0 Ξ7� e1 � e2 � e3
�������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� ������������� ��
It is evident from this example that (at least in 3-space), for a Grassmann number to have an
inverse, it must have a non-zero body.
To calculate an inverse directly, we can use the function GrassmannInverse. To see the
pattern for inverses in general, we calculate the inverses of a general Grassmann number in 1, 2,
3, and 4-spaces:
Inverse in a 1-space
�1; X1 � CreateGrassmannNumber�Ξ�
Ξ0 � e1 Ξ1
X1�r � GrassmannInverse�X1�
1
�������
Ξ0
� e1 Ξ1
�������������
Ξ2 0
Inverse in a 2-space
2001 4 5
�2; X2 � CreateGrassmannNumber�Ξ�
Ξ0 � e1 Ξ1 � e2 Ξ2 �Ξ3 e1 � e2
X2�r � GrassmannInverse�X2�
1
�������
Ξ0
� e1 Ξ1 �������������
Ξ2 0
� e2 Ξ2 �������������
Ξ2 0
� Ξ3 e1 � e2 �����������������������
Ξ2 0
Ξ 0 3