Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 12
Ξ0 Ψ0 �Ξ1 Ψ1 �Ξ2 Ψ2 �Ξ3 Ψ3 �Ξ4 Ψ4 � e3 �Ξ3 Ψ0 �Ξ5 Ψ1 �Ξ6 Ψ2 �Ξ7 Ψ4� �
Ξ5 Ψ5 � e2 �Ξ2 Ψ0 �Ξ4 Ψ1 �Ξ6 Ψ3 �Ξ7 Ψ5� �Ξ6 Ψ6 �
e1 �Ξ1 Ψ0 �Ξ4 Ψ2 �Ξ5 Ψ3 �Ξ7 Ψ6� �Ξ7 Ψ7 � �Ξ4 Ψ0 �Ξ7 Ψ3� e1 � e2 �
�Ξ5 Ψ0 �Ξ7 Ψ2� e1 � e3 � �Ξ6 Ψ0 �Ξ7 Ψ1� e2 � e3 �Ξ7 Ψ0 e1 � e2 � e3
Now consider the case of two general Grassmann number in 3-space.
�3; X� CreateGrassmannNumber�Ξ�
Ξ0 � e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 �Ξ4 e1 � e2 �
Ξ5 e1 � e3 �Ξ6 e2 � e3 �Ξ7 e1 � e2 � e3
Y � CreateGrassmannNumber�Ψ�
Ψ0 � e1 Ψ1 � e2 Ψ2 � e3 Ψ3 �Ψ4 e1 � e2 �
Ψ5 e1 � e3 �Ψ6 e2 � e3 �Ψ7 e1 � e2 � e3
The interior product of X with Y is:
Z � ��X ���� Y�
Ξ0 Ψ0 � e1 Ξ1 Ψ0 � e2 Ξ2 Ψ0 � e3 Ξ3 Ψ0 �
��e1 � e1� Ξ1 � �e1 � e2� Ξ2 � �e1 � e3� Ξ3� Ψ1 � �e1 � e2 � e1� Ξ4 Ψ1 �
�e1 � e3 � e1� Ξ5 Ψ1 � �e2 � e3 � e1� Ξ6 Ψ1 � �e1 � e2 � e3 � e1� Ξ7 Ψ1 �
��e1 � e2� Ξ1 � �e2 � e2� Ξ2 � �e2 � e3� Ξ3� Ψ2 � �e1 � e2 � e2� Ξ4 Ψ2 �
�e1 � e3 � e2� Ξ5 Ψ2 � �e2 � e3 � e2� Ξ6 Ψ2 � �e1 � e2 � e3 � e2� Ξ7 Ψ2 �
��e1 � e3� Ξ1 � �e2 � e3� Ξ2 � �e3 � e3� Ξ3� Ψ3 � �e1 � e2 � e3� Ξ4 Ψ3 �
�e1 � e3 � e3� Ξ5 Ψ3 � �e2 � e3 � e3� Ξ6 Ψ3 � �e1 � e2 � e3 � e3� Ξ7 Ψ3 �
��e1 � e2 � e1 � e2� Ξ4 � �e1 � e2 � e1 � e3� Ξ5 � �e1 � e2 � e2 � e3� Ξ6�
Ψ4 � �e1 � e2 � e3 � e1 � e2� Ξ7 Ψ4 �
��e1 � e2 � e1 � e3� Ξ4 � �e1 � e3 � e1 � e3� Ξ5 � �e1 � e3 � e2 � e3� Ξ6�
Ψ5 � �e1 � e2 � e3 � e1 � e3� Ξ7 Ψ5 �
��e1 � e2 � e2 � e3� Ξ4 � �e1 � e3 � e2 � e3� Ξ5 � �e2 � e3 � e2 � e3� Ξ6�
Ψ6 � �e1 � e2 � e3 � e2 � e3� Ξ7 Ψ6 � �e1 � e2 � e3 � e1 � e2 � e3� Ξ7 Ψ7 �
Ξ4 Ψ0 e1 � e2 �Ξ5 Ψ0 e1 � e3 �Ξ6 Ψ0 e2 � e3 �Ξ7 Ψ0 e1 � e2 � e3
We can expand these interior products to inner products and replace them by elements of the
metric tensor by using the GrassmannAlgebra function ToMetricForm. For example in the
case of a Euclidean metric we have:
2001 4 5
�; ToMetricForm�Z�
Ξ0 Ψ0 � e1 Ξ1 Ψ0 � e2 Ξ2 Ψ0 � e3 Ξ3 Ψ0 �Ξ1 Ψ1 � e2 Ξ4 Ψ1 �
e3 Ξ5 Ψ1 �Ξ2 Ψ2 � e1 Ξ4 Ψ2 � e3 Ξ6 Ψ2 �Ξ3 Ψ3 � e1 Ξ5 Ψ3 �
e2 Ξ6 Ψ3 �Ξ4 Ψ4 � e3 Ξ7 Ψ4 �Ξ5 Ψ5 � e2 Ξ7 Ψ5 �Ξ6 Ψ6 �
e1 Ξ7 Ψ6 �Ξ7 Ψ7 �Ξ4 Ψ0 e1 � e2 �Ξ7 Ψ3 e1 � e2 �Ξ5 Ψ0 e1 � e3 �
Ξ7 Ψ2 e1 � e3 �Ξ6 Ψ0 e2 � e3 �Ξ7 Ψ1 e2 � e3 �Ξ7 Ψ0 e1 � e2 � e3