Grassmann Algebra

TheInteriorProduct.nb 22
Measure�Α1 � Α2 � � � Αm�
��������������������������������������������������������������������������
Α1 � Α2 � � � Αm � Α1 � Α2 � � � Αm
Measure�Α1 � Α2�
���������������������������������������������������������������������������
��Α1 � Α2� 2 � �Α1 � Α1� �Α2 � Α2�
Measure will compute the measure of a simple element using the currently declared metric.
For example, with the default Euclidean metric:
Measure��2�e1 � 3�e2���e1 � e2 � e3���5�e2 � e3��
5
With a general metric:
�3; DeclareMetric�g�
��g1,1, g1,2, g1,3�, �g1,2, g2,2, g2,3�, �g1,3, g2,3, g3,3��
Measure��2�e1 � 3�e2���e1 � e2 � e3���5�e2 � e3��
� �50 g1,2 g1,3 g2,3 �
2
25 g1,1 g2,2 g3,3 � 25 �g1,3 � The measure of free elements
2
g2,2 � g1,1 g2,3 2
� g1,2 The measure of an m-element has a well-defined geometric significance.
� m = 0
�a� 2 � a 2
The measure of a scalar is its absolute value.
� m = 1
Measure�a�
�������
a2 �Α� 2 �Α���� Α
If Α is interpreted as a vector, then �Α� is called the length of Α.
2001 4 5
Measure�Α�
������������
Α � Α
g3,3��