Grassmann Algebra

ExplorGrassmannMatrixAlgebra.nb 11
����A � A�� �� MatrixForm
4 � 17 e1 � 30 e2
�
10 � 15 e1 � 5e2 � 13 e1 � e2 Regressive products
We can also take the regressive product.
����A � A�� �� MatrixForm
2e1 � 12 e2 � 19 e1 � e2
�
5e1 � 30 e2 e1 � e2 ���9e1 � 54 e2 � e1 � e2 ��19 � e1 � 6e2�
�
e1 � e2 ���13 � 27 e1 � 9e2 � 9e1 � e2 � e1 � e2 ���9 e1 � 52 e2 � e1 � e2� �
Interior products
We calculate an interior product of two matrices in the same way.
P � ����A ���� A��
��4 � 9 �e1 � e1 � � 11 e1 � 30 e2 ,3�e1 � e1 � � 19 �e1 � e2 � � 6 �e2 � e2 ��,
�10 � 27 �e 1 � e2 � e1 � � 9 �e1 � e2 � e1 � e2 � � 5e2 � 13 e1 � e2 ,
e2 � e2 � 9 �e1 � e2 � e1 � � 53 �e1 � e2 � e2 � � e1 � e2 � e1 � e2 ��
To convert the interior products to scalar products, use the GrassmannAlgebra function
ToScalarProducts on the matrix.
P1 � ToScalarProducts�P�
��4 � 9 �e1 � e1 � � 11 e1 � 30 e2 ,3�e1 � e1 � � 19 �e1 � e2 � � 6 �e2 � e2 ��,
�10 � 9 �e1 � e2 � 2 � 9 �e1 � e1 ��e2 � e2 � � 27 �e1 � e2 � e1 � 5e2 �
27 �e 1 � e 1� e 2 � 13 e 1 � e 2 , ��e 1 � e 2 � 2 � e 2 � e 2 � �e 1 � e 1 ��e 2 � e 2 � �
9 �e1 � e2 � e1 � 53 �e2 � e2 � e1 � 9 �e1 � e1 � e2 � 53 �e1 � e2� e2��
This product can be simplified further if the values of the scalar products of the basis
elements are known. In a Euclidean space, we obtain:
2001 4 26
ToMetricForm�P1� ��MatrixForm
� 13 � 11 e1 � 30 e2 9
�
1 � 22 e2 � 13 e1 � e2 2 � 53 e1 � 9e2