Grassmann Algebra

TheComplement.nb 39
e 1 � e2 � � � en ���������������������������� 1
� ����������
�����
g
����� ����� i�1 1 i n
ei � g ���1� �e � � � ���� � � � e
e i
����� 1
� ����������
�����
g
���1� i�1 �e1 � � � ���� i � � � en
����������������������� ����� �
ei1 � � � eim
m 1 i
� g ���1� �e � � � ���� 1 i � � � ���� m n � � � e
ei1 ����������������������� 1
im � � � e � ����������
�����
g
���1� �m �e1 � � � ���� i1 � � � ���� im
� � � en
5.57
m
where �m � �Γ�1 �iΓ � 1
���� �m��m � 1� and the symbol � means the corresponding element is
2
missing from the product.
The complement of a cobasis element
The cobasis of a general basis element was developed in Section 2.6 as:
ei
m
����� � ��1��m �e1 � � � ���� i1 � � � ���� im � � � en
m
where �m � �Γ�1 �iΓ � 1
���� �m��m � 1�.
2
Taking the complement of this formula and applying equation 5.27 gives the required result.
Similarly:
2001 4 5
����� � ��1� �m �e1 � � � ���� i1 � � � ���� im
ei
m
�����
�����������������������������������������������������
� � � en
� �����
g ���1��m 1 i1 im n
�e �����������������������������������������������������
� � � ���� � � � ���� � � � e
� �����
g ���1� m��n�m� �e i1 im � � � e
� �����
g ���1� m��n�m� �e i
m
����� ����� m��n�m� i
ei � g ���1� �e
����� m
m
5.58
5.59
5.60
5.61
5.62