Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 35
Xf � GrassmannFactor�Y,
�a e1 � be2 � ce3���de1 � ee2 � fe3�, �a, b, c, d, e, f��
� �
�������������������������� �
Ψ3
�������������������������������� ������������������� �
f
�
e2 �c e�Ψ3� �
������������������������������
����� f
�
�
�e e2 � fe3 � e1 ��f Ψ1 � e Ψ2�
�������������������������������� �������� �,
����� ce3 � e1 �Ψ2 � c ��f Ψ 1 �e Ψ 2 �
�����
�
be2 � e1 �Ψ1 � beΨ ����������� 2
Ψ3 �
������������������������������������ �
e
e3 Ψ3 �
�������������
���� e
�
��ee2 � ee1 Ψ2
����������������� ��
Ψ3
Both may be verified as valid factorizations.
��Xf�
Ψ3
�Ψ1 e1 � e2 �Ψ2 e1 � e3 �Ψ3 e2 � e3, Ψ1 e1 � e2 �Ψ2 e1 � e3 �Ψ3 e2 � e3�
� Example: Factorizing a 3-element in 4-space
Finally, consider a specific 3-element in 4-space.
�4; X��14 w � x � y � 26 w � x � z � 11 w � y � z � 13 x � y � z;
Since every (nÐ1)-element in an n-space is simple, we know the 3-element can be factorized.
Suppose also that we would like the factorization in the following form:
J � �x Α1 � y Α2���y Β2 � z Β3���z Γ3 � w Γ4�
�x Α1 � y Α2���y Β2 � z Β3���z Γ3 � w Γ4�
By using GrassmannFactor we can explore if a factorization into such a form exists.
XJ � GrassmannFactor�X, J�
11 y Α1 14 y 26 z
13 z Γ4
�x Α1 � ����������������� ���� ������������� � ������������� ���w Γ4 � ����������������� �
26 Α1 Γ4 Α1 Γ4
14
We check that this is indeed a factorization by applying GrassmannSimplify.
2001 4 5
��XJ�
�14 x � y � w � 13 x � y � z � 26 x � z � w � 11 y � z � w