Grassmann Algebra

TheExteriorProduct.nb 38
Division by a k-element
Suppose now we have a quotient with a simple k-element denominator. Since the denominator
is contained in the numerator, we can write the quotient as:
�Α1 � Α2 � � � Αm���Β1 � Β2 � � � Βk�
�������������������������������� �������������������������������� ��������������������
�Β1 � Β2 � � � Βk�
To prepare for the 'dividing out' of the Β factors we rewrite the numerator in the more general
form:
�Α1 � t11�Β1 � � � t1�k�Βk���Α2 � t21�Β1 � � � t2�k�Βk��
� ��Αm � tm1�Β1 � � � tmk�Βk���Β1 � Β2 � � � Βk�
where the tij are arbitrary scalars. Hence:
�Α1 � Α2 � � � Αm ���Β1 � Β2 � � � Βk�
�������������������������������� �������������������������������� �������������������� �
�Β1 � Β2 � � � Βk�
�Α1 � t11�Β1 � � � t1�k�Βk��
�Α2 � t21�Β1 � � � t2�k�Βk��� ��Αm � tm1�Β1 � � � tmk�Βk�
In the special case of m equal to 1, this reduces to:
Α � Β1 � Β2 � � � Βk
�������������������������������� ���������� �Α�t1�Β1 � � � tk�Βk
Β1 � Β2 � � � Βk
We will later see that this formula neatly defines a hyperplane.
Special cases
In the special cases where Α m or Β k
2001 4 5
is a scalar, the results are unique.
a Β1 � Β2 � � � Βk
�������������������������������� ������� � a
Β1 � Β2 � � � Βk
b Α1 � Α2 � � � Αm
�������������������������������� ������� �Α1� Α2 � � � Αm
b
2.38
2.39
2.40
2.41