Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 19
n pmax X pmax
1 1 Σ
2 1 Σ�Σ
2
3 2 2 Σ � Σ 2
4 2 �2 Σ�Σ 2 ��Σ 2
5 3 3Σ � Σ 2 � Σ 2
6 3 �3 Σ�Σ 2 ��Σ 2 � Σ 2
7 4 4 Σ � Σ 2 � Σ 2 � Σ 2
8 4 �4 Σ�Σ 2 ��Σ 2 � Σ 2 � Σ 2
Verifying the formulae in a 3-space
Declare a 3-space and create a Grassmann number X3 with no body.
�3; X3 � Soul�CreateGrassmannNumber���
e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 �Ξ4 e1 � e2 �Ξ5 e1 � e3 �Ξ6 e2 � e3 �Ξ7 e1 � e2 � e3
�Σ �ExtractGrade�1��X3�, Σ 2 � ExtractGrade�2��X3��
�e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3, Ξ4 e1 � e2 �Ξ5 e1 � e3 �Ξ6 e2 � e3�
��X3 � X3 � 2�Σ � Σ 2 �
True
Verifying the formulae in a 4-space
Declare a 4-space and create a Grassmann number X4 with no body.
2001 4 5
�4; X4 � Soul�CreateGrassmannNumber���
e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 � e4 Ξ4 �Ξ5 e1 � e2 �Ξ6 e1 � e3 �
Ξ7 e1 � e4 �Ξ8 e2 � e3 �Ξ9 e2 � e4 �Ξ10 e3 � e4 �Ξ11 e1 � e2 � e3 �
Ξ12 e1 � e2 � e4 �Ξ13 e1 � e3 � e4 �Ξ14 e2 � e3 � e4 �Ξ15 e1 � e2 � e3 � e4
�Σ �ExtractGrade�1��X4�, Σ 2 � ExtractGrade�2��X4��
�e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 � e4 Ξ4,
Ξ5 e1 � e2 �Ξ6 e1 � e3 �Ξ7 e1 � e4 �Ξ8 e2 � e3 �Ξ9 e2 � e4 �Ξ10 e3 � e4�
��X4 � X4 � �2 Σ�Σ 2 ��Σ 2 �
True