Grassmann Algebra

TheComplement.nb 20
�3; DeclareMetric���;
Metric��0�
1
M1 � Metric��1�; MatrixForm�M1�
���������
�
�1,1 �1,2 �1,3
�1,2 �2,2 �2,3
�1,3 �2,3 �3,3
���������
�
M2 � Metric��2�; MatrixForm�M2�
�����������
�
��2 1,2 � �1,1 �2,2 ��1,2 �1,3 � �1,1 �2,3 ��1,3 �2,2 � �1,2 �2,3
��1,2 �1,3 � �1,1 �2,3
��2 1,3 � �1,1 �3,3 ��1,3 �2,3 � �1,2 �3,3
��1,3 �2,2 � �1,2 �2,3 ��1,3 �2,3 � �1,2 �3,3 ��2 2,3 � �2,2 �3,3
Metric��3�
2
��1,3 2
�2,2 � 2 �1,2 �1,3 �2,3 � �1,1 �2,3 2
� �1,2 The metric in � 3 is of course just the determinant of the metric in � 1 .
�3,3 � �1,1 �2,2 �3,3
We can also give Metric� several grades for which to calculate the metric. For example:
Metric���1, 3��
����1,1, �1,2, �1,3�, ��1,2, �2,2, �2,3�, ��1,3, �2,3, �3,3��,
2
2 2
�3,3 � �1,1 �2,2 �3,3�
��1,3 �2,2 � 2 �1,2 �1,3 �2,3 � �1,1 �2,3 � �1,2 Example: Induced specific metrics
We return to the metric discussed in a previous example.
2001 4 5
�3; M� ��1, 0, Ν�, �0, �1, 0�, �Ν, 0,�1��;
DeclareMetric�M�; MatrixForm�M�
� 1 0 Ν
�������
��������
0 �1 0
� Ν 0 �1 �
Metric���1, 2, 3��
���1, 0, Ν�, �0, �1, 0�, �Ν, 0,�1��,
���1, 0, Ν�, �0, �1 �Ν 2 ,0�, �Ν, 0,1��, 1�Ν 2 �
�����������
�