Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 26
The nth power of a general Grassmann number in 3-space is:
�3; X� CreateGrassmannNumber�Ξ�; Y� GrassmannPower�X, n�
Ξ 0 n � ne1 Ξ 0 �1�n Ξ1 � ne2 Ξ 0 �1�n Ξ2 � ne3 Ξ 0 �1�n Ξ3 �
n Ξ 0 �1�n Ξ4 e1 � e2 � n Ξ 0 �1�n Ξ5 e1 � e3 � n Ξ 0 �1�n Ξ6 e2 � e3 �
�Ξ 0 �2�n ��n � n 2 � Ξ2 Ξ5 � ��n � n 2 ��Ξ3 Ξ4 �Ξ1 Ξ6�� � n Ξ 0 �1�n Ξ7�
e1 � e2 � e3
Z � GrassmannPower�X, �n�
Ξ 0 �n � ne1 Ξ 0 �1�n Ξ1 � ne2 Ξ 0 �1�n Ξ2 � ne3 Ξ 0 �1�n Ξ3 �
n Ξ 0 �1�n Ξ4 e1 � e2 � n Ξ 0 �1�n Ξ5 e1 � e3 � n Ξ 0 �1�n Ξ6 e2 � e3 �
�Ξ 0 �2�n �Ξ3 �n Ξ4 � n 2 Ξ4� � n Ξ2 Ξ5 � n 2 Ξ2 Ξ5 � n Ξ1 Ξ6 � n 2 Ξ1 Ξ6� �
n Ξ 0 �1�n Ξ7� e1 � e2 � e3
���Y � Z, Z � Y��
�1, 1�
� General powers of a Grassmann number
As well as integer powers, GrassmannPower is able to compute non-integer powers.
The square root of a Grassmann number
The square root of a general Grassmann number X in 3-space is given by:
�3; X� CreateGrassmannNumber�Ξ�; Y� GrassmannPower�X, 1
���� �
2
�������
Ξ0 � e1 Ξ1
����������������
2 ������� � e2 Ξ2
����������������
2 ������� � e3 Ξ3
����������������
2 ������� � Ξ4 e1 � e2
�����������������������
2 ������� � Ξ5 e1 � e3
�����������������������
2 ������� �
Ξ6 e2 � e3
�����������������������
2 �������
Ξ0
Ξ0
Ξ0
Ξ0
� ���
�
�Ξ3 Ξ4 �Ξ2 Ξ5 �Ξ1 Ξ6
�������������������������������� 3�2 ����������������� �
4 Ξ0 We verify that this is indeed the square root.
Simplify���X � Y � Y��
True
The Πth power of a Grassmann number
Ξ0
Ξ7
����������������
2 �������
Ξ0
�
�
Ξ0
�� e1 � e2 � e3
Consider a general Grassmann number X in 2-space raised to the power of Π and -Π.
2001 4 5
�2; X� CreateGrassmannNumber�Ξ�; Y� GrassmannPower�X, Π�
Ξ 0 Π �Πe1 Ξ 0 �1�Π Ξ1 �Πe2 Ξ 0 �1�Π Ξ2 �ΠΞ 0 �1�Π Ξ3 e1 � e2