Grassmann Algebra

ExploringCliffordAlgebra.nb 54
Step 3:
C9 � C8 �. Thread�First�C8 � � Basis���� �.
Thread��First�C8 � ��Basis����;
Step 4: Verification
C9 � C6
True
� ��0,4 : The Clifford algebra of complex quaternions
To generate the Clifford algebra of complex quaternions we need a metric in which all the scalar
products of orthogonal basis elements are of the form ei ���� ej (i not equal to j) are equal to -1.
That is
�e1 ���� e1 ��1, e2 ���� e2 ��1, e3 ���� e3 ��1, e4 ���� e4 ��1�
To generate the Clifford product table for this metric we enter:
�4; DeclareMetric�DiagonalMatrix���1, �1, �1, �1���
���1, 0, 0, 0�, �0, �1, 0, 0�, �0, 0, �1, 0�, �0, 0, 0, �1��
C6 � CliffordToOrthogonalScalarProducts�C1 ���ToMetricForm;
PaletteForm�C6 �
1 e1 e2 e3
e1 �1 e1 � e2 e1 � e3 e1
e2 ��e1 � e2 � �1 e2 � e3 e2
e3 ��e1 � e3 � ��e2 � e3 � �1 e3
e4 ��e1 � e4 � ��e2 � e4 � ��e3 � e4 �
e1 � e2 e2 �e1 e1 � e2 � e3 e1 �
e1 � e3 e3 ��e1 � e2 � e3 � �e1 e1 �
e1 � e4 e4 ��e1 � e2 � e4 � ��e1 � e3 � e4 � �
e2 � e3 e1 � e2 � e3 e3 �e2 e2 �
e2 � e4 e1 � e2 � e4 e4 ��e2 � e3 � e4 � �
e3 � e4 e1 � e3 � e4 e2 � e3 � e4 e4 �
e1 � e2 � e3 ��e2 � e3 � e1 � e3 ��e1 � e2 � e1 � e2
e1 � e2 � e4 ��e2 � e4 � e1 � e4 ��e1 � e2 � e3 � e4 � ��e1
e1 � e3 � e4 ��e3 � e4 � e1 � e2 � e3 � e4 e1 � e4 ��e1
e2 � e3 � e4 ��e1 � e2 � e3 � e4 � ��e3 � e4 � e2 � e4 ��e2
e1 � e2 � e3 � e4 e2 � e3 � e4 ��e1 � e3 � e4 � e1 � e2 � e4 ��e1 �
Note that both the vectors and bivectors act as an imaginary units under the Clifford product.
This enables us to build up a general element of the algebra as a sum of nested complex
2001 4 26