Grassmann Algebra

ExplorGrassmannMatrixAlgebra.nb 30
A � ��2, 3 � x�, �2 � y, 3��; MatrixForm�A�
2 3�x �
2 � y 3 �
�X, L� � GrassmannMatrixEigensystem�A�; MatrixForm �� �X, L�
� �����
�
�3 � 2x ������ 5
9y
� ������ 1
10
2 1�x ���
� 5 y
5
�����
�
,
����
��� � �
� 2x ������ 5
3y
� ������ 5
x�y
� ������� 5
0 5�2x ������ 5
0
3y
� ������ 5
x�y
� ������� 5
To verify that this is indeed the eigensystem for A we can evaluate the equation A�X � X�L.
����A � X�� � ����X � L��
True
Next we take a slightly more complex example.
A � ��2 � e1 � 2�e1 � e2 ,0,0�, �0, 2 � 2e1 ,5� e1 � e2 �,
�0, �1 � e1 � e2, �2 � e2 ��; MatrixForm�A�
��������
�
2 � e1 � 2e 1 � e 2 0 0
0 2� 2e1 5 � e 1 � e 2
0 �1 � e1 � e2 �2 � e2
�X, L� � GrassmannMatrixEigensystem�A�;
X
��0, 0, 1�,
7 �
�������� � e1 � �
2 5
����
��������
�
5 �
�������� � e2 � �
2 17
�������
�����
�
�
7 �
��������
2 � e1 � e2 , ��2 ��� �
���2 ���� �3 � �
2 4
�
7 �
�3 � �������� � e1 � �
2 5 5 �
���� � �������� � e2 � �
2 2 17 7 �
������� � �������� � e1 � e2 ,0�, �1, 1, 0��
4 2
L
2001 4 26
9 �
���� � �1 � �������� � e1 � �
2 1 7 �
���� � �������� � e2 � �
2 2 15 9 �
������� � �������� � e1 � e2 ,0,0�,
4 2
9 �
�0, ���1 � �������� � e1 � �
2 1 7 �
���� � �������� � e2 � �
2 2 15 9 �
������� � �������� � e1 � e2 ,0�,
4 2
�0, 0, 2 � e1 � 2e1 � e2 ��
����A � X�� � ����X � L��
True