Grassmann Algebra

TheExteriorProduct.nb 30
Α1 � Α2 � �a11�e1 � a12�e2 � a13�e3 � a14�e4�
� �a21�e1 � a22�e2 � a23�e3 � a24�e4�;
��Α1 � Α2�
��a12 a21 � a11 a22� e1 � e2 � ��a13 a21 � a11 a23� e1 � e3 �
��a14 a21 � a11 a24� e1 � e4 � ��a13 a22 � a12 a23� e2 � e3 �
��a14 a22 � a12 a24� e2 � e4 � ��a14 a23 � a13 a24� e3 � e4
Denote the coefficients of these basis 2-elements by ai .
a1 ��a12 a21 � a11 a22;
a2 ��a13 a21 � a11 a23;
a3 ��a14 a21 � a11 a24;
a4 ��a13 a22 � a12 a23;
a5 ��a14 a22 � a12 a24;
a6 ��a14 a23 � a13 a24;
Expand the product of the third and fourth rows.
Α3 � Α4 � �a31�e1 � a32�e2 � a33�e3 � a34�e4�
� �a41�e1 � a42�e2 � a43�e3 � a44�e4�;
��Α3 � Α4�
��a32 a41 � a31 a42� e1 � e2 � ��a33 a41 � a31 a43� e1 � e3 �
��a34 a41 � a31 a44� e1 � e4 � ��a33 a42 � a32 a43� e2 � e3 �
��a34 a42 � a32 a44� e2 � e4 � ��a34 a43 � a33 a44� e3 � e4
Denote the coefficients of these basis 2-elements by ai ����� , making sure to correspond the correct
cofactors by corresponding the correct cobasis elements.
a6 ����� � ��a32 a41 � a31 a42�;
a5 ����� ����a33 a41 � a31 a43�;
a4 ����� � ��a34 a41 � a31 a44�;
a3 ����� � ��a33 a42 � a32 a43�;
a2 ����� ����a34 a42 � a32 a44�;
a1 ����� � ��a34 a43 � a33 a44�;
We can then calculate the determinant from:
2001 4 5
D2 � a1�a1 ����� � a2�a2 ����� � a3�a3 ����� � a4�a4 ����� � a5 a5 ����� � a6 a6 �����
��a14 a23 � a13 a24� ��a32 a41 � a31 a42� �
��a14 a22 � a12 a24� �a33 a41 � a31 a43� �
��a14 a21 � a11 a24� ��a33 a42 � a32 a43� �
��a13 a22 � a12 a23� ��a34 a41 � a31 a44� �
��a13 a21 � a11 a23� �a34 a42 � a32 a44� �
��a12 a21 � a11 a22� ��a34 a43 � a33 a44�