Grassmann Algebra

TheExteriorProduct.nb 29
��Α2 � Α3 � Α4�
�a23 ��a32 a41 � a31 a42� �
a22 �a33 a41 � a31 a43� � a21 ��a33 a42 � a32 a43�� e1 � e2 � e3 �
�a24 ��a32 a41 � a31 a42� � a22 �a34 a41 � a31 a44� �
a21 ��a34 a42 � a32 a44�� e1 � e2 � e4 �
�a24 ��a33 a41 � a31 a43� � a23 �a34 a41 � a31 a44� �
a21 ��a34 a43 � a33 a44�� e1 � e3 � e4 �
�a24 ��a33 a42 � a32 a43� � a23 �a34 a42 � a32 a44� �
a22 ��a34 a43 � a33 a44�� e2 � e3 � e4
By inspection of the basis elements in this result we see that both e1 � e2 � e3 and
e1 � e3 � e4 require a change of sign to bring them into the required cobasis form.
e1 � e2 � e3 ��e4 �����
e1 � e2 � e4 � e3 �����
e1 � e3 � e4 ��e2 �����
e2 � e3 � e4 � e1 �����
Reflecting this change of sign in the coefficients, the corresponding cofactors become:
a11 ������ � �a24 ��a33 a42 � a32 a43� �
a23 �a34 a42 � a32 a44� � a22 ��a34 a43 � a33 a44��;
a12 ������ ���a24 ��a33 a41 � a31 a43� �
a23 �a34 a41 � a31 a44� � a21 ��a34 a43 � a33 a44��;
a13 ������ � �a24 ��a32 a41 � a31 a42� �
a22 �a34 a41 � a31 a44� � a21 ��a34 a42 � a32 a44��;
a14 ������ ���a23 ��a32 a41 � a31 a42� �
a22 �a33 a41 � a31 a43� � a21 ��a33 a42 � a32 a43��;
We can then calculate the determinant from:
D1 � a11�a11 ������ � a12�a12 ������ � a13�a13 ������ � a14�a14 ������
a14 ��a23 ��a32 a41 � a31 a42� �
a22 �a33 a41 � a31 a43� � a21 ��a33 a42 � a32 a43�� �
a13 �a24 ��a32 a41 � a31 a42� � a22 �a34 a41 � a31 a44� �
a21 ��a34 a42 � a32 a44�� �
a12 ��a24 ��a33 a41 � a31 a43� � a23 �a34 a41 � a31 a44� �
a21 ��a34 a43 � a33 a44�� �
a11 �a24 ��a33 a42 � a32 a43� � a23 �a34 a42 � a32 a44� �
a22 ��a34 a43 � a33 a44��
Case 2: Calculation by expansion about the first two rows
Expand the product of the first and second rows.
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