Grassmann Algebra

TheRegressiveProduct.nb 36
� A 2-element in a 5-space:
�5; X� CreateBasisForm�2, a�
a1 e1 � e2 � a2 e1 � e3 � a3 e1 � e4 � a4 e1 � e5 � a5 e2 � e3 �
a6 e2 � e4 � a7 e2 � e5 � a8 e3 � e4 � a9 e3 � e5 � a10 e4 � e5
X1 � Factorize�X�
If� a3 a5 � a2 a6
������������������������������
a1
a4 a5 � a2 a7
������������������������������
a1
� a8 �� 0&&
� a9 �� 0&& a4 a6 � a3 a7
������������������������������
a1
� a10 �� 0,
�a1 e2 � a2 e3 � a3 e4 � a4 e5����a1 e1 � a5 e3 � a6 e4 � a7 e5�
�������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� ��������������� ,
a1
a1 e1 � e2 � a2 e1 � e3 � a3 e1 � e4 � a4 e1 � e5 � a5 e2 � e3 �
a6 e2 � e4 � a7 e2 � e5 � a8 e3 � e4 � a9 e3 � e5 � a10 e4 � e5�
In this case of a 2-element in a 5-space, we have a predicate involving three conditions on the
coefficients to satisfy before obtaining a simple factorizable element.
X1 �.
������������������������������ ,a9 �� a4 a5 � a2 a7
������������������������������
�a8 �� a3 a5 � a2 a6
a1
a1
������������������������������ �
,a10 �� a4 a6 � a3 a7
�a1 e2 � a2 e3 � a3 e4 � a4 e5����a1 e1 � a5 e3 � a6 e4 � a7 e5�
�������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� ���������������
� Determining if an element is simple
a1
To determine if an element is simple, we can use the GrassmannAlgebra function SimpleQ. If
an element is simple SimpleQ returns True. If it is not simple, it returns False. If it may be
simple conditional on the values taken by some of its scalar coefficients, SimpleQ returns the
conditions required.
We take the same examples as we discussed in the section on factorization.
For simple m-elements
� A 3-element in a 4-space:
2001 4 5
�4; X� CreateBasisForm�3, a�
a1 e1 � e2 � e3 � a2 e1 � e2 � e4 � a3 e1 � e3 � e4 � a4 e2 � e3 � e4
SimpleQ�X�
True
a1