Grassmann Algebra

ExploringGrassmannAlgebra.nb 24
Verifying the formula in a 3-space
�3; Xs � Soul�CreateGrassmannNumber���
e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 �Ξ4 e1 � e2 �Ξ5 e1 � e3 �Ξ6 e2 � e3 �Ξ7 e1 � e2 � e3
�Σ �ExtractGrade�1��Xs�, Σ 2 � ExtractGrade�2��Xs��
�e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3, Ξ4 e1 � e2 �Ξ5 e1 � e3 �Ξ6 e2 � e3�
�� 1
������� �
Ξ0
� Xs ���� 1 � �������
� Ξ0
1
� 2
���������
Ξ0 2 Σ � Σ 2
Verifying the formula in a 4-space
�����
�
��Ξ0 � Xs��
�4; Xs � Soul�CreateGrassmannNumber���
e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 � e4 Ξ4 �Ξ5 e1 � e2 �Ξ6 e1 � e3 �
Ξ7 e1 � e4 �Ξ8 e2 � e3 �Ξ9 e2 � e4 �Ξ10 e3 � e4 �Ξ11 e1 � e2 � e3 �
Ξ12 e1 � e2 � e4 �Ξ13 e1 � e3 � e4 �Ξ14 e2 � e3 � e4 �Ξ15 e1 � e2 � e3 � e4
�Σ �ExtractGrade�1��Xs�, Σ 2 � ExtractGrade�2��Xs��
�e1 Ξ1 � e2 Ξ2 � e3 Ξ3 � e4 Ξ4,
Ξ5 e1 � e2 �Ξ6 e1 � e3 �Ξ7 e1 � e4 �Ξ8 e2 � e3 �Ξ9 e2 � e4 �Ξ10 e3 � e4�
�� 1
������� �
Ξ0
� Xs ���� 1 � �������
� Ξ0
1
� 1
���������
Ξ0 2 �2 Σ�Σ 2 ��Σ 2
�����
�
��Ξ0 � Xs��
� Integer powers of a Grassmann number
In the GrassmannAlgebra function GrassmannPower we collect together the algorithm
introduced above for positive integer powers of Grassmann numbers with that for calculating
inverses, so that GrassmannPower works with any integer power, positive or negative.
? GrassmannPower
GrassmannPower�X,n� computes the nth power of a Grassmann
number X in a space of the currently declared number of
dimensions. n may be any numeric or symbolic quantity.
Powers in terms of basis elements
2001 4 5
�2; X� CreateGrassmannNumber�Ξ�
Ξ0 � e1 Ξ1 � e2 Ξ2 �Ξ3 e1 � e2