Thèse Sciences Cognitives - Olivier Nerot

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Mémorisation par forçage des dynamiques chaotiques dans les modèles connexionnistes récurrents
2 < d < 3
Cette inégalité montre bien l’aspect pathologique des attracteurs dits étranges dans la
famille des objets de la géométrie euclidienne classique : leur dimension doit être non
entière. Le calcul de cette dimension est donc une généralisation, une prolongation de la
notion classique de dimension : point adimen-sionnel, droite monodimen-sionnelle, plan
bidimensionnel, ..., et attracteurs étranges de dimension non entière.
L’approche couramment utilisée pour calculer cette dimension consiste à calculer la
limite à l’infini de la dimension d’un pavage recouvrant l’attracteur (Figure 2-17). Cette
méthode, due à Hausdorff, définit la dimension fractale d’un attracteur par :
æ ln N(
e)
ö
D=
limç ÷
e®
0èln( 1/
e)
ø
Où N( e ) est le nombre minimal d’hypercubes de coté e nécessaires pour recouvrir
l’ensemble des points de l’attracteur. Il est possible de vérifier que cette définition
coïncide avec les dimensions euclidiennes pour le point, la droite ou la surface :
point :
segment :
surface :
Par contre, dans le cas d’un objet
fractal, par exemple pour l’ensemble
triadique de Cantor, cette dimension
amène des dimensions non entières.
Cet ensemble correspond à la limite de
l’itération qui consiste à enlever le tiers
du milieu d’un segment (Figure 2-18).
En effet, à chaque itération, le nombre
de segments qui composent cet
ensemble est multiplié par deux, tandis
que la taille de chacun de ces
segments est divisée par trois. Ainsi, à
chaque itération k, il est nécessaire
d’utiliser N(k)=2 k hypercubes de coté
N( e)
= 1 Þ D = 0
-1
N( e) = Le Þ D = 1
-2
N( e) = Se Þ D = 2
k
e( k)
= ( 1/ 3) pour paver cet ensemble. Ce qui amène à:
æ ln N(
e)
ö æ ln( 2)
D=
limç ÷ = limç e®
0è ln( 1/
e)
ø k®¥
è ln() 3
PREMIERE PARTIE : ANALYSE
Figure 2-18 : Ensemble de Cantor
L’ensemble de Cantor est obtenu par eliminations
successives du tiers central des segments le
composant. A la limite, cet ensemble possède une
dimension non-entière.
k
k
ö ln2
÷ = » 0, 63
ø ln3
Malheureusement, un tel calcul théorique est bien souvent impossible, et il faut recourir
à des méthodes expérimentales de calcul de la dimension à partir d’un échantillon fini de
points appartenant à l’attracteur.