Spazio e sapere - La Psicanalisi secondo Sciacchitano

equivalenti oppure no. In particolare, se due presentazioni si riconducono a una
circonferenza, dopo una successione finita di mosse di Reidemeister sulla presentazione
piana del nodo, si può concludere che i due nodi sono equivalenti al nodo banale, cioè
sono sciolti. La teoria di Reidemeister si può condensare nel lemma che porta il suo
nome. Esso è importante perché collega le mosse “locali” di Reidemeister con la
trasformazione “globale” dello spazio in se stesso, riducendo un problema più difficile,
a tre dimensioni, a uno più facile a due.
Se un nodo può essere trasformato in un altro attraverso una deformazione continua
dello spazio, in cui è immerso, allora si può ottenere lo stesso risultato con mosse di
Reidemeister e trasformazioni banali nel piano. 147
Il teorema esistenziale di Reidemeister è non costruttivo. 148 Dice che le mosse di
Reidemeister che trasformano un nodo in una presentazione equivalente esistono, ma
non dice come passare effettivamente da una presentazione all’altra. Di fronte a due
matasse di nodi, si può tentare in vari modi di ridurre l’una all’altra. Ma se non si riesce,
non di può dire che le due matasse rappresentano nodi diversi. Può voler dire che non
abbiamo imbroccato la sequenza giusta di mosse. Che pure sappiamo esistere, se i nodi
sono uguali. Al problema risponde parzialmente la teoria degli invarianti, di cui
presenteremo i tratti essenziali.
C’è un punto potenzialmente problematico. Si dirà, se tutti i nodi sono circonferenze,
cosa distingue un nodo a tre incroci da uno a quattro o più, e tutti da un nodo a zero
incroci? La differenza tra un nodo e l’altro, con numero minimo di incroci diverso, non
è, ripetiamo, nei nodi in sé ma nello spazio in cui sono immersi, precisamente nello
spazio a loro complementare. La struttura del nodo ex-siste al nodo, direbbero
Heidegger e Lacan. Infatti, appartiene allo spazio in cui “abitano”. Abbiamo imparato a
studiare gli effetti di immersione dal punto di vista omotopico. Sono effetti di
deformazione dello spazio circostante, omotopicamente rilevabili attraverso il
comportamento dei cappi contraibili. L’immersione del toro nello spazio ambiente
produce effetti diversi da quelli dell’immersione della sfera. Tutti i cappi di uno spazio
tridimensionali sono contraibili in un punto, per deformazione continua. L’immersione
del toro altera radicalmente la struttura dello spazio. Infatti, genera cappi non contraibili
in un punto. Sono quelli che passano per il buco del toro. Lo stesso effetto non si ottiene
con la sfera. Infatti, dopo l’immersione di una sfera, tutti i cappi dello spazio restano
contraibili in un punto, come prima della sua immersione. Analogamente, circonferenza
e nodo a trifoglio sono diversi perché generano effetti diversi nello spazio ambiente,
rilevabili con gli strumenti dell’omotopia. 149 Nodo a trifoglio e nodo banale (la
circonferenza) si distinguono perché nello spazio circostante inducono modificazioni
147 Cfr. A. Sossinsky, Nodi. Genesi di una teoria matematica, trad. F. Ligabue, Einaudi, Torino
2000, p. 54. Da questo libro abbiamo tratto le illustrazioni delle mosse di Reidemeister.
148 Non è un teorema effettivo. In matematica effettiva per dimostrare l’esistenza non basta
stabilire la non contraddittorietà, occorre esibire un esemplare effettivamente costruito. Non
basta dimostrare che “non tutti gli elementi non godono della proprietà P” per sapere che esiste
un elemento che gode della proprietà P. Inutile dire che la logica psicanalitica è più vicina alla
costruttiva che alla aristotelica.
149 Concependo la cordicella come sottile toro, lo spazio ambiente corrisponde al vuoto esterno.
Il nodo permette di distinguere tra vuoto interno e vuoto esterno del toro. La distinzione è
omotopica, non topologica. L’omotopia restringe il discorso topologico ai morfismi che si
possono modificare con continuità, regolandoli attraverso un parametro. Quindi, i risultati
omotopici sono meno generali dei topologici, ma intuitivamente più accessibili.