Spazio e sapere - La Psicanalisi secondo Sciacchitano

ora detti similitudini, che conservano gli ordinamenti. Se a precede b, allora anche af, a
trasformato dalla similitudine f, precede bf, b trasformato da f.
I sistemi di logica sono un importante esempio di struttura ordinale. L’ordinamento
che essi conservano in un certo insieme di formule ben formate (fbf) sono la relazione
di conseguenza (in termini di verità, o semantici) e la relazione di deduzione (in termini
di sapere, o sintattici). Per la prima, se A è vero, allora B è vero; per la seconda, se si
assume A allora si deduce B. Nelle logiche elementari degli enunciati e dei predicati i
due approcci sono equivalenti: tutto il vero è dimostrabile, essendo scontato che tutto il
dimostrabile è vero (teorema di completezza). Tuttavia, se il sistema si arricchisce di
mezzi espressivi fino a contenere l’aritmetica, arrivando a tradurre in rapporti numerici
proprietà informali della teoria, forzando in un certo senso la teoria della teoria nella
teoria, allora si incontra per così dire un “buco” nella struttura. Si sperimenta
l’impossibile strutturale come incompletezza. La completezza si perde: non tutta la
verità si dimostra senza contraddizione. Gödel, come abbiamo ricordato, ha dimostrato
che, se si vuole salvare la coerenza dell’aritmetica, si deve accettare l’esistenza di
enunciati veri ma indimostrabili, tra cui l’enunciato che afferma la propria
indimostrabilità. Nel prezzo da pagare per salvare la coerenza c’è anche
l’indimostrabilità della coerenza dell’aritmetica. Con un chiasmo tipico della retorica
lacaniana, potremmo dire che l’indimostrabilità della coerenza è la “mancanza” grazie
al quale il sistema simbolico si regge su se stesso in modo coerente.
A qualcuno può interessare sapere che la confezione insiemistica (o estensionale)
non è essenziale alla logica simbolica moderna. Nella sua tesi di laurea del 1923 von
Neumann presentò un’assiomatizzazione della teoria degli insiemi esclusivamente come
funzioni, che sarà successivamente perfezionata da Gödel e Bernays. Dal 1924
Schonfinkel ha avviato e Curry ripreso un sistema di scrittura logica interamente basato
su operatori, che esclude il ricorso a variabili insiemistiche (logica combinatoria). Qui
non entriamo nei dettagli. Segnaliamo solo che la stessa teoria degli insiemi è un
esempio, forse quello minimale, di teoria ordinale i cui morfismi (ora detti applicazioni
biunivoche) conservano la relazione d’inclusione tra insiemi.
L’algebra studia strutture con una o più operazioni. Un’operazione n-aria è una
relazione valida per le n-ple di un insieme. Una n-pla è un insieme ordinato di elementi,
in cui sono ammesse ripetizioni. L’insieme delle n-ple di un insieme forma il suo
prodotto cartesiano di ordine n. I prodotti cartesiani sono importanti, perché permettono
di formalizzare le relazioni su un insieme come sottoinsiemi di un prodotto opportuno.
Per esempio, la somma di numeri interi è una relazione valida per la tripla (3,2,5) e non
valida per (3,2,7). Infatti, 3+2=5 e 3+2≠7. Abbiamo già visto, a proposito del triangolo
equilatero, un esempio non numerico di struttura algebrica: il gruppo di trasformazione
del triangolo. In questo caso la relazione ternaria è la concatenazione delle
trasformazioni, cioè l’eseguirle una dopo l’altra. L’algebra astratta nasce con Galois per
studiare le strutture di gruppi di permutazione delle radici di un’equazione. La
formulazione astratta è indipendente dalle rappresentazioni concrete, sia numeriche sia
geometriche, degli elementi del gruppo. Un gruppo è definito astrattamente dai suoi
pochi assiomi: possedere un’operazione chiusa e associativa; possedere un’unità;
possedere l’inverso di ogni elemento. Non ci serve definire tutti i termini. Ci basta dire
che il gruppo è una struttura algebrica importante, forse la più importante dal punto di
vista strutturale. La ragione è nell’autoriferimento. Infatti, l’insieme degli isomorfismi
di una struttura è a sua volta un gruppo. In altri termini, tutti i modi equivalenti di
presentare la struttura – come quelli attraverso le trasformazioni biunivoche che
conservino le operazioni – formano a loro volta una struttura di gruppo. L’algebra
presenta qui le proprie credenziali come unificatrice di tante matematiche diverse.
Allora assume il nome di teoria delle categorie.