Spazio e sapere - La Psicanalisi secondo Sciacchitano

LE PRIME IDENTIFICAZIONI
Ecco un foglio di carta (Fig. 22).
Fig. 22
Invece di mostrare su un foglio di carta reale tagli e incollature, finché è possibile,
preferisco operare sul foglio di carta astratto disegnato alla lavagna. Matematica è
dimostrare prima che mostrare. È reperire l’astratto nel concreto, la struttura nella
presentazione, l’impossibile nel reale. Poincaré diceva che la geometria è l’arte di
dimostrare cose vere mediante figure sbagliate. La chiamava convenzionalismo. Il nome
è in parte giusto, ma in senso più allargato del suo. In effetti, è convenzionale, o meglio
strumentale, per non dire indifferente, su quale presentazione si lavora. L’importante è
circoscrivere qualcosa della struttura mediante una presentazione opportuna.
Certamente, alcune servono allo scopo meglio di altre, non esistendo la migliore in
assoluto, cioè la figura ortodossa. (Nelle scuole, invece, esiste).
Il foglio di carta astratto non è solo un foglio di carta. È un elemento della classe di
equivalenza del quadrato, comprendente rettangoli, rombi e altri quadrilateri.
L’importante è che sia omeomorfo a una superficie euclidea con bordo, dove sono
fissati quattro punti A, B, C, D. Si tratta di a uno spazio topologico i cui aperti di base
sono (omeomorfi a) quadrati senza frontiere (tranne che in corrispondenza del bordo del
quadrato di partenza).
A questo punto, per costruire nuovi spazi topologici, ci concediamo quel che finora
ai morfismi era interdetto: saldare o cucire porzioni di bordo tra di loro. 71 Diciamo che
identifichiamo i vertici del quadrato e i lati compresi. Identificare A con B significa
portare A in B; D con C portare D in C (Fig. 23).
Fig. 23
In complesso, identificare il lato AD con il lato BC significa portare AD a coincidere
con BC. Realizzando l’identificazione fisicamente con carta e colla, verifichiamo che la
nuova struttura così ottenuta è la superficie del cilindro (Fig. 24).
71 In realtà agli omeomorfismi non è interdetto in modo assoluto il “taglia e incolla”. Un
omeomorfismo può tagliare e incollare, pur di rispettare nell’incollatura l’orientamento
originale dei bordi prodotti dal taglio. Così si trasforma in modo omeomorfo una banda di
Moebius a tre mezze torsioni in una equivalente a una sola mezza torsione. Cfr. fig. 6 e 7.