Spazio e sapere - La Psicanalisi secondo Sciacchitano

L’importanza di questa struttura, pur così semplice, sta nel fatto che individua una
un’impossibilità precisa del piano euclideo, praticamente quella che lo definisce. Infatti,
sul piano non si può completare il disegno dell’esagramma senza incrociare un tratto già
disegnato. Per contro la stessa struttura si può disegnare (“immergere”) sulla superficie
toroidale senza incorrere in autointesezioni. Ma ecco qual e il problema. Per il modo in
cui abbiamo presentato la struttura, ossia un insieme più i suoi morfismi, ci troviamo di
fronte al problema pratico del riconoscimento. Un modello piano, con intersezioni, e
uno toroidale, senza intersezioni, sono chiaramente diversi. Come possono
rappresentare la stessa struttura? I due disegni (Fig. 17)
Fig. 17
sono presentazioni della stessa struttura, trasformata da due isomorfismi diversi o sono
effettivamente due strutture diverse che non si possono trasformare luna nell’altra
mediante alcun isomorfismo?
Nel caso della fig. 17 è facile uscire dal dilemma con verifica diretta. Le relazioni
sono le stesse ma presentate in modo diverso. In termini più precisi, tra i vertici del
disegno esiste una corrispondenza biunivoca tale che, se due vertici sono correlati, lo
sono anche i corrispondenti. Ad esempio, posta la corrispondenza:
A → 1
B → 2
C → 3
D → 4
E → 5
F → 6,
si verifica che, se A e F sono sullo stesso lato, anche 1 e 6 lo sono nell’altro, e così via
per tutte le combinazioni.
Il problema della presentazione si pone con strutture complesse. Un gruppo di 120
elementi ha una tabellina di moltiplicazione con 120x120=14400 posizioni. Può essere
difficile controllarle tutte. Se poi fosse infinito...
Il metodo degli invarianti dà una risposta parziale al problema dell’identificazione
delle strutture. Si tratta di estrarre dalla presentazione un tratto significativo, che sia
abbastanza caratteristico della struttura, e di utilizzarlo per discriminare strutture
diverse. Ad es. il numero minimo di incroci è un invariante della struttura topologica del
nodo. Un nodo a quattro incroci (numero minimo) è sicuramente diverso da (non
omeomorfo a) un nodo a cinque. Il numero minimo di incroci è un invariante. Non varia
come non varia la materia di un sistema fisico: né si crea, né si distrugge. Fuor di
metafora, se l’invariante di due strutture è diverso, anche queste sono diverse, essendo
la struttura ciò che costituzionalmente non varia. Tuttavia, se gli invarianti sono uguali,