Spazio e sapere - La Psicanalisi secondo Sciacchitano

In generale i morfismi algebrici sono omomorfismi. Essi conservano la struttura
operativa nel senso che il trasformato dell’operazione corrisponde all’operazione sui
trasformati. Se l’operazione è la somma, si scrive (a+b)f = af+bf. La generalità di questa
scrittura è vastissima. Comprende, in effetti è concepita per comprendere e unificare,
tutte le trasformazioni lineari: la derivazione, l’integrazione, le applicazioni vettoriali o
omografie. Per esempio l’integrale della somma è la somma degli integrali. La linearità
è il fondamento del calcolo tensoriale, il calcolo “naturale” della teoria della relatività
generale. 37 Sembra addirittura che al di là della linearità il matematico abbia difficoltà a
dominare il proprio calcolo, a farne la teoria, a predire il campo dei risultati senza
eseguire materialmente i calcoli. Per il matematico la non-linearità è il regno della dotta
ignoranza, nel senso del Cusano. Là il soggetto ignora la verità precisa (oggi si dice
“esatta”), ma l’approssima con la precisione desiderata.
C’è un singolare chiasmo tra approssimazione e completezza in epoca antica e
moderna, di cui provo a dire qualcosa. Il primo Gödel della storia si chiamava Pitagora.
Dimostrò che, se si voleva mantenere la coerenza della teoria della misura, occorreva
accettare l’esistenza di grandezze incommensurabili. Pitagora dimostrò che l’insieme
dei razionali era incompleto. La diagonale del quadrato (in pratica, la radice di due) non
ammetteva di essere misurata come rapporto di due numeri interi. (Aristotele riporta la
dimostrazione per assurdo, che qui omettiamo). La defaillance del logos fu l’occasione
per costruire la teoria delle proporzioni di Eudosso di Cnido, che anticipa la moderna
teoria degli spazi vettoriali Solo il moderno soggetto della scienza seppe accettare la
mancanza supplendo a essa con l’approssimazione. In epoca moderna si dimostra che,
dato un numero reale, a esso ci si può avvicinare quanto si vuole con un numero
razionale opportuno. La diagonale del quadrato non si misura con esattezza, ma con
precisione grande a piacere. La completezza perduta è recuperata da Galilei per
approssimazione. Occorre aspettare Gödel per riconoscere che il recupero è
definitivamente impossibile e che l'insufficienza del sapere rispetto alla verità è
costitutiva del simbolico.
Vale la pena ricordare che il concetto di “approssimazione a piacere” è topologico.
La precondizione topologica per realizzare l’approssimazione è la densità dell’insieme
dei numeri razionali in quello dei numeri reali, grazie alla qual ci si può avvicinare
quanto si vuole a un numero reale con dei numeri razionali. La densità significa che
ogni intorno, per quanto piccolo, di un numero reale contiene almeno un numero
razionale interno a esso. Quello stesso numero può essere utilizzato come
approssimazione del numero reale con la precisione voluta. 38 Il concetto di
approssimazione è pervasivo in tutti i campi delle scienze “esatte”. Si estende, per
esempio, alle funzioni di numeri reali. Infatti, il teorema di approssimazione di
Weierstrass recita: Se F(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso [a, b] e ε
positivo, allora c’è un polinomio P(x) a coefficienti reali tale che il valore assoluto della
differenza (F(x) – P(x)) è minore di ε per ogni x di [a, b], si riformula in termini
37 “Relativo” e “generale” non sono termini reciprocamente contraddittori? Non tanto. Basta
pensare che la struttura è relativa rispetto a una determinata classe di morfismi, ma entro tale
classe è generale, cioè le sue proprietà valgono per (sono conservate da) ogni morfismo. Vale la
pena ricordare che il nome originario della teoria della relatività, andato perduto, era più
preciso. Si sarebbe dovuta chiamare “teoria degli invarianti”.
38 Per curiosità, il più semplice teorema di approssimazione afferma che, per ogni numero reale
ξ, esiste almeno una coppia di numeri interi p e q, tale che il valore assoluto della differenza tra
ξ e il numero razionale p/q è inferiore a 1/q 2 . Se ξ è irrazionale le soluzioni della disequazione
sono infinite. L’approssimazione restituisce la completezza come limite all’infinito. Qualcosa di
questa verità strutturale voleva forse significare l’ultimo Lacan con l’aforisma: “C’è un sapere
nel reale”.