Appunti di Fisica Teorica - INFN

dove
S[x(t), ˙x(t)] =
T
0
m
dx
2 dt
2
− V (x(t))
(23.3)
è l’azione classica del sistema e N è un fattore di normalizzazione (tipicamente
divergente) indipendente dai parametri del problema.
Il membro di sinistra dell’equazione (23.2) può essere riscritto in termini
degli autovalori En ed delle autofunzioni ψn(x) di ˆ H:
In particolare,
i
−
〈x2|e T ˆ H
|x1〉 =
i
−
dx〈x|e T ˆ H −
|x〉 = Tr e i
Nel caso particolare di un oscillatore armonico:
le formule (23.4) e (23.5) diventano
i
−
〈x2|e T ˆ ∞
H
|x1〉 =
n
V (x) = mω2
2 x2
n=0
iEn T
−
e ψ ∗ n(x2) ψn(x1) (23.4)
T ˆ H =
n
iEn T
−
e (23.5)
(23.6)
1
−i(n+
e 2 )ω T ψ ∗ n(x2) ψn(x1) (23.7)
e
i
−
Tr e T ˆ i ω T
−
H e 2
= (23.8)
1 − e−i ω T
La rappresentazione di Feynman in termini dei cammini x(t) dà per l’elemento
di matrice (23.2) l’espressione:
i
−
〈x2|e T ˆ H
|x1〉 =
1
[det( d2
dt2 + ω2 )] 1
2
e i
S[¯x(t), ˙¯x(t)]
(23.9)
dove ¯x(t) è la soluzione delle equazioni del moto classiche che soddisfa le
condizioni al contorno x(0) = x1 e x(T ) = x2. Cominciamo col calcolare il
termine esponenziale:
S[¯x(t), ˙¯x(t)] = 1
2
= m
2
T
d
dt
dt (m ˙¯x¯x(t)) − ¯x(t)( d2
dt2 + ω2
)¯x(t) (23.10)
dt d
( ¯x(t)¯x(t)) ˙ =
dt m
¯x(T ˙ ) ¯x(T ) −
2
˙
¯x(0) ¯x(0)
0
T
0
100