Appunti di Fisica Teorica - INFN

22.2.2 Diffusione da potenziale
In un potenziale esterno non abbiamo conservazione del momento ma solo
dell’energia: pertanto l’elemento di matrice S si scrive
Sfi = δfi + 2 π i δ(Ef − Ei) Tfi
e la probabilità di transizione per unità di tempo
dwi→f
T = 2 π δ(Ef
|Mfi|
− Ei)
2
i (2 ωi) V
f
d 3 pf
(2 π) 3 2 ωf
(22.24)
(22.25)
Consideriamo il caso della diffusione di una particella di energia ω in un
potenziale esterno. La (22.25) diventa
dwi→f
T = 2 π δ(Ef
2
|Mfi|
− ω)
2 ω V
f
d 3 pf
(2 π) 3 2 ωf
(22.26)
La grandezza interessante in questo caso è la sezione d’urto. Se v = |p|/ω è
la velocità della particella incidente, allora la sezione d’urto differenziale è
d σ = dwi→f
T (v/V ) = 2 π δ(Ef
2
|Mfi|
− ω)
2 |p|
f
d 3 pf
(2 π) 3 2 ωf
(22.27)
Nel caso in cui nello stato finale si ha ancora una particella (diffusione
elastica) con impulso p ′ , la sezione d’urto è
d σ = dwi→f
T (v/V )
= 1
16 π 2 |Mfi| 2 d Ω ′
23 I determinanti funzionali
(22.28)
23.1 Il determinante per l’oscillatore armonico in 1d
Si consideri il sistema uni-dimensionale descritto dall’Hamiltoniana
ˆH = ˆp2
+ V (ˆx) (23.1)
2m
La rappresentazione di Feynman per gli elementi di matrice dell’operatore
evoluzione temporale si scrive
i
−
〈x2|e T ˆ H
|x1〉 = N
[dx(t)] x(0)=x1 e
x(T )=x2 i
S[x(t), ˙x(t)]
99
(23.2)