Appunti di Fisica Teorica - INFN

e forniscono una rappresentazione del piccolo gruppo, che in questo caso è il
gruppo SO(2).
Notiamo che le proprietà (15.35) di coniugazione delle matrici σ µ implicano
che la coniugata complessa dell’equazione di Weyl destrorsa
è l’equazione
¯σ µ ∂µ ψ 1
( ,0)(x) = 0 (15.44)
2
σ µ ∂µ ɛ −1 ψ ∗
( 1
2
,0)(x) = 0 (15.45)
In altre parole il complesso coniugato di uno spinore di Weyl “destrorso”
ψ c (x) ≡ ɛ −1 ψ ∗ (x) (15.46)
si trasforma come uno spinore “sinistrorso” e viceversa. Denotiamo dunque
con HR la rappresentazione del gruppo delle trasformazioni inomogenee di
Lorentz formata dalle soluzioni dell’equazione di Weyl per uno spinore destrorso
(15.44). HR è decomponibile in rappresentazioni irriducibili:
dove H (±)
R
HR = H (+)
R
⊕ H(−)
R
(15.47)
denota il sottospazio delle soluzioni ad energia positiva/negativa.
Abbiamo analogamente per l’equazione di Weyl sinistrorsa gli spazi
Sappiamo che
HL = H (+)
L
H (+)
R ∼ H m=0,h=+ 1
2
⊕ H(−)
L
H (+)
L ∼ H m=0,h=− 1
2
(15.48)
(15.49)
dove con Hm=0,h denotiamo la rappresentazione unitaria irriducibile del gruppo
delle trasformazioni inomogenee di Lorentz di massa nulla ed elicità h.
L’equazione (15.45) dimostra che
H ∗ R ∼ HL
(15.50)
dove abbiamo indicato con lo star la rappresentazione coniugata complessa.
Poiché la rappresentazione coniugata complessa di una rappresentazione ad
energia positiva è una rappresentazione ad energia negativa, concludiamo che
(H (−)
R )∗ ∼ H (+)
L
67
(H (−)
L )∗ ∼ H (+)
R
(15.51)