Appunti di Fisica Teorica - INFN

dove A è l’indice di una rappresentazione di Lorentz generica. Allora
[φA(x), φ †
B (x′
2
)] ∓ = |α|
dove
p
N (±)
AB
N (+)
AB (p)
(2 π) 3 e
2 ωp
−i p (x−x′ ) 2
∓ |β|
p
(p) =
σ
N (−)
AB (p)
(2 π) 3 e
2 ωp
i p (x−x′ )
(20.2)
u (±)
A (p) (u(±) ) ∗ B(p) (20.3)
e denotiamo con p il quadrivettore (ωp, p). Ricordiamo che le matrici densità
soddisfano le equazioni
cioè, N (+)
AB
KAB(±p) N (±)
BC (p) = 0 = KABp) N (±)
BC
(±p) (20.4)
(−)
(+p) e N AB (−p) soddisfano le stesse equazioni. Pertanto devono
coincidere a meno di un fattore moltiplicativo, che — utilizzando le condizioni
di normalizzazione — può essere si riduce ad un segno:
N (+)
AB
(−)
(+p) = ±N AB (−p) (20.5)
D’altra parte l’esistenza di una corrente conservata che determina la struttura
hermitiana sullo spazio delle soluzioni dell’equazione d’onda implica
l’esistenza di una matrice M AB tale che
A,B
A,B
(u (±) ) ∗ A M AB u (±)
B
= 1 per spin interi
(u (±) ) ∗ A M AB u (±)
B = ωp per spin semi − interi
Questo porta alla relazioni (19.5) per le norme delle soluzioni delle equazioni
d’onda. Pertanto
A,B
per particelle (massive) con spin J intero, e
A,B
N (±)
AB (p) M BA = (2J + 1) (20.6)
N (±)
AB (p) M BA = 2 ωp(2J + 1) (20.7)
per particelle (massive) con spin J semi-intero. Concludiamo che
N (+)
AB
N (+)
AB
(−)
(+p) = N AB (−p) per spin interi
(−)
(+p) = −N AB (−p) per spin semi − interi
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