Appunti di Fisica Teorica - INFN

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soddisfa ugualmente (13.8). Fissata la varietà degli autovalori, i gruppi Wp ′ sono isomorfi al variare di p ′ sulla varietà. W¯p è detto il piccolo gruppo di ¯p. Consideriamo l’equazione (13.6) per Λ2 = Λ, Λ1 = L(p), e p = ¯p N(Λ, L(p) ¯p) N(L(p), ¯p) = N(Λ L(p), ¯p) = dove abbiamo introdotto = N(L(Λ p) L(Λ p) −1 Λ L(p), ¯p) = N(L(Λ p) W (Λ, p), ¯p) W (Λ, p) è un elemento del piccolo gruppo W¯p: W (Λ, p) = L(Λ p) −1 Λ L(p) (13.11) L(Λ p) −1 Λ L(p) ¯p = L(Λ p) −1 Λ p = ¯p (13.12) Applicando la relazione (13.6) questa volta a N(L(Λ p) W (Λ, p), ¯p) otteniamo N(L(Λ p) W (Λ, p), ¯p) = N(L(Λ p), W (Λ, p) ¯p) N(W (Λ, p), ¯p) = = N(L(Λ p), ¯p) N(W (Λ, p), ¯p) (13.13) Combinando (13.11) e (13.13) concludiamo ovvero N(Λ, L(p) ¯p) N(L(p), ¯p) = N(L(Λ p), ¯p) N(W (Λ, p), ¯p) N(Λ, p) = N(L(Λ p), ¯p) N(W (Λ, p), ¯p) N(L(p), ¯p) −1 (13.14) Questa relazione dice che una soluzione arbitraria dell’equazione (13.6) è equivalente alla soluzione N(W (Λ, p), ¯p). L’azione del gruppo di Lorentz sugli stati è pertanto completamente determinata dall’azione del piccolo gruppo sul sottospazio H¯p. A sua volta questa azione è caratterizzata dalla scelta di una rappresentazione del piccolo gruppo. Infatti la relazione (13.6) diventa per trasformazioni W1, W2 ∈ W¯p del piccolo gruppo, nel caso in cui p = ¯p, N(W2, ¯p) N(W1, ¯p) = N(W2 W1, ¯p) (13.15) In altre parole N(W, ¯p) è una rappresentazione del piccolo gruppo W¯p. È agevole dimostrare che un cambiamento (13.10) della scelta di L(p) o della scelta di ¯p porta ad una rappresentazione equivalente. In definitiva le rappresentazioni unitarie irriducibili inequivalenti del gruppo di Poincaré sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni unitarie irriducibili del piccolo gruppo. Per derivare la forma esplicita dell’azione delle trasformazioni di Lorentz omogenee sugli stati, dobbiamo specificare, ¯p, L(p) ed una base. 54
13.1 Caso massivo Nel caso massivo prendiamo ¯p = (m, 0, 0, 0) (13.16) Il piccolo gruppo W¯p è il gruppo delle matrici di Lorentz R della forma 1 R = 0 0 R (13.17) dove R ∈ SO(3) è una matrice ortogonale di dimensione 3. Una scelta conveniente per L(p) è dove L(p) = ˆ R(ˆp) Bz(|p|) ˆ R(ˆp) −1 ˆR(ˆp) = 1 0 0 R(ˆp) ˆ è una rotazione spaziale che porta ˆz in ˆp = p |p| : (13.18) (13.19) ˆR(ˆp) ˆz = ˆp (13.20) e Bz(|p|) è una trasformazione di Lorentz speciale tale che ⎛ ⎞ m ⎜ Bz(|p|) ⎜ 0 ⎟ ⎝ 0 ⎠ 0 = ⎛ ⎞ ωp ⎜ 0 ⎟ ⎝ 0 ⎠ |p| Questa scelta per L(p) gode della seguente proprietà Infatti (13.21) W (R, p) = L(R p) −1 R L(p) = R (13.22) L(R p) −1 R L(p) = ˆ R(R p) Bz(|p|) −1 ˆ R(R ˆp) −1 R ˆ R(ˆp) Bz(|p|) ˆ R(ˆp) −1 Osserviamo che ˆR(R ˆp) −1 R ˆ R(ˆp) ˆz = ˆ R(R ˆp) −1 (R ˆp) = ˆz (13.23) 55
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L ω = − 2 √ ∞ π → ɛ→0
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dove la traccia nel secondo membro
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e dell’azione effettiva Seff(B) p
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ɛ > 0. Questo equivale a definire
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dove ψ1(x1, t1) e ψ2(x2, t2) sono
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In questo caso possiamo supporre ch
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dove kz è la componente di k lungo
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