Appunti di Fisica Teorica - INFN

Si noti che sul minimo per E0 i termini non-diagonali di H2 si annullano.
∆p
Poiché da (10.16) abbiamo 2upvp =
nano ∆p sono
∆p = 1
2V
p
√ , le equazioni che determi-
∆2 2
p+ɛ(p)
u(p, p ′ ) ∆p ′
∆ 2 p + ɛ(p) 2
(10.18)
Le equazioni (10.18) hanno la soluzione ∆p = 0, che rappresenta la
trasformazione canonica che manda alla descrizione buca-particella.
Abbiamo in generale un’altra soluzione di (10.18), anche se non è possibile
dare un espressione esplicita per questa soluzione nel caso di un potenziale
u(p, p ′ ) generico. Supponiamo allora che u(p, p ′ ) = g costante per p, p ′ che si
trovano in un certa regione intorno alla sfera di Fermi : pF −q < p, p ′ < pF +q.
Supponiamo inoltre che u(p, p ′ ) si annulli al di fuori di questo intervallo.
∆p si annulla allora al di fuori dello stesso intervallo ed è indipendente da
p per pF − q < p < pF + q. Facciamo anche l’approssimazione µ ≈ p2 F
2m
(che è il valore del potenziale chimico nel caso della teoria libera). Pertanto
ɛ(p) ≈ pF
m (p − pF ). Prendendo inoltre il limite continuo otteniamo infine
da cui
1 = g
4π 2 3
= g m pF
∆ =
2π 2 3
q pF
m
per m g pF 2
2π 2 3 ≪ 1.
pF +q
pF −q
p F q
m∆
0
1
sinh 2π2 3
m g pF
p2 dp
∆2 + p2 F
m2 (p − pF ) 2
dy
1 + y 2
= 2q pF
m
≈ g p2F 2π23 q
0
= g m pF
2π 2 3 sinh−1 q pF
m∆
e − 2π2 3
m g p F
1 − e − 4π2 3
m g p F
≈
dx
∆ 2 + p2 F
m 2 x 2
(10.19)
2q pF
m e− 2π2 3
m g p F (10.20)
OSSERVAZIONE: ∆(g) → 0 quando g → 0 ma in maniera non-perturbativa:
∆(g) non è una funzione analitica di g a g = 0.
Espandendo E0 in potenze di ∆ per ∆ piccolo abbiamo
E0 ≈
− 1
8
∆2 + ɛ(p) 2
∆ 4
ɛ 2
43
≈ −1
8
∆4 < 0 (10.21)
ɛ3