Appunti di Fisica Teorica - INFN

Le funzioni d’onda di singola particella (a frequenza positiva) sono
ψ (p,σ)
−i p x e
A (x) = uA(p, σ)
(2 π) 3/2 (2 ωp) 1/2
(17.2)
Gli stati di singola particella |p, σ〉 si trasformano secondo la rappresentazione
irriducibile del gruppo di Lorentz descritta da
U (1)
ωΛ
1/2
p
(Λ) |p, σ〉 =
Dσ, σ ′(W (Λ, p)) | Λ p, σ′ 〉 (17.3)
ωp
σ ′
dove Dσ, σ ′(W (Λ, p)) è la rappresentazione unitaria del piccolo gruppo che
definisce la rappresentazione indotta U (1) (Λ).
implica che
D’altra parte, Eq. (17.2)
U (1) (Λ) : ψ (p,σ)
A
= S(Λ)AB uB(p, σ)
= S(Λ)AB uB(p, σ)
(x) → S(Λ)AB ψ (p,σ)
(Λ −1 x) =
B
−i (Λ p) x e
(2 π) 3/2 =
(2 ωp)
1/2
−i (Λ p) x e
(2 π) 3/2 (2 ωΛ p ) 1/2
ωΛ
1/2
p
ωp
(17.4)
Confrontando (17.4) con (17.3) otteniamo
S(Λ)AB uB(p, σ) =
Dσ, σ ′(W (Λ, p)) uA(Λ p, σ ′ ) (17.5)
σ ′
In particolare, prendendo in questa equazione Λ = L(p) e p = ¯p dove ¯p è il
momento di riferimento (¯p = (m,0) nel caso massivo) e p = L(p) ¯p, otteniamo
S(L(p))AB uB(p0, σ) = uA(p, σ) (17.6)
che esprime il vettore di polarizzazione generico in termini del vettore di
polarizzazione per il momento di riferimento.
17.1 Vettori di polarizzazione del campo di Dirac
17.1.1 Vettori di polarizzazione con spin definito nel sistema di
riposo
Nel caso massivo una scelta conveniente di L(p) è
L(p) = R( ˆ p) Bz(|p|) R( ˆ p) −1
79
(17.7)