Appunti di Fisica Teorica - INFN

e dell’azione effettiva Seff(B) prodotta dal campo di materia scalare. Possiamo
quindi scrivere l’azione totale come la somma di un termine quadratico
nel campo magnetico
S (2) = −
2 V4B
e
1 +
8 c π
2
2 · 3! π c
ɛ
log
C
(23.62)
e dell’azione effettiva rinormalizzata in (23.60) la cui espansione per piccoli
b parte dal termine b4 :
S rin
eff(B) = − m4 c4 V4
16 π2 3 ∞
dT
0 T 3
2 b T
eb T − e−b T − 1 + b2 T 2
e
3!
−T
= − m4 c4 V4
16 π2 3 ∞ 4 7 b
dT
0 360 e−T 31 b6
T −
15120 e−T T 3 + O(b 8
)
= − m4 c4 V4
16 π2 3 4 7 b 31 b6
−
360 2520 + O(b8
)
= − 7 m
360
4 c4 V4
16 π2 3 e4 B4 4 m8 c12 + O(B6 )
= − 7 e
2 · 360 π
2
c
e2 B2 2 m4 c6 V4 B2 8 π c + O(B6 ) (23.63)
L’equazione (23.62) mostra che all’ordine e tutto l’effetto della divergenza
c
logaritmica può essere riassorbito riscalando il campo B o equivalentemente
il campo vettore Aµ e introducendo un campo “rinormalizzato”
A rin
e
µ = Aµ 1 +
2
4 · 3! π c
ɛ
log
C
(23.64)
L’azione totale S (2) + Seff è un funzionale del campo rinormalizzato (23.64)
finito per ɛ → 0. Poiché l’accoppiamento del campo elettro-magnetico alla
materia avviene attraverso l’interazione e d 4 xAµ j µ la ridefinizione (23.64)
è equivalente ad introdurre una carica “rinormalizzata”
e
erin ≡ e 1 −
2
4 · 3! π c
ɛ
log
C
(23.65)
L’idea della rinormalizzazione è di considerare il limite ɛ → 0 mantenendo
finito erin (e quindi prendendo una carica “nuda” e divergente): tutte le
grandezze fisiche saranno delle funzioni finite quando espresse in termini di
erin.
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