Appunti di Fisica Teorica - INFN

1
=
[det( d2
=
dt2 + ω2 )] 1
2
π (1+z)
ω m (z−1)
[det( d2
dt2 + ω2 )] 1
2
ω m (z−1)
−
dx e (z+1) x2
(23.17)
Confrontando con l’espressione (23.8) per la funzione di partizione ottenuta
attraverso il formalismo operatoriale arriviamo, in maniera indiretta, alla
seguente formula per il determinante funzionale
od equivalentemente
[det( d2
dt2 + ω2 )] 1
π (z2 − 1)
2 =
z ω m
det( d2
dt 2 + ω2 ) =
2 π i
ω m
(23.18)
sin(ω T ) (23.19)
Notiamo che l’operatore differenziale hermitiano e definito positivo che si
ottiene per rotazione di Wick dall’operatore differenziale originario è
− d2
+ ω2
dt2 (23.20)
Il suo determinante funzionale si ottiene da (23.19) per continuazione analitica
T → −iT ed è una funzione reale:
det(− d2
dt 2 + ω2 ) =
2 π
ω m
sinh(ω T ) (23.21)
Notiamo che gli autovalori dell’operatore (hermitiano) (23.20) sono
π2n2 + ω2
T 2
(23.22)
con n = 1, 2, . . ., e le autofunzioni corrispondenti sono sin πωt.
Pertanto la
T
definizione diretta del determinante (23.21) come prodotto degli autovalori
darebbe
det(− d2
dt2 + ω2 ∞
) = ( π2n2 T 2 + ω2 ) (23.23)
102
n=1