Appunti di Fisica Teorica - INFN

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24 Integrale di Feynman e matrice S 112 24.1 L’approssimazione iconale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Parte I Teoria non-relativistica 1 Seconda Quantizzazione per Fermioni Sia {ψα(ηi)} una base di H (1) , lo spazio degli stati di singola particella. Una , lo spazio degli stati a N-particelle antisimmetrizzato è base per H (N) A ψα1...αN (η1, . . . , ηN) = 1 √ N! σ∈SN (−1) σ ψα σ(1) (η1) · · · ψα σ(N) (ηN) (1.1) Vogliamo descrivere questa base in termini di numeri di occupazione. A questo scopo è necessario stabilire un ordine per l’insieme {α} degli indici che denotano la base di H (1) , stabilendo che α1 < α2 < · · · < αk · · · Sia dunque |n1, . . . , nk, . . .〉 lo stato che corrisponde a ψα1...αN (η1, . . . , ηN) con α1 < α2 < · · · < αN e i ni = N. Gli operatori di distruzione e creazione aα e a † β numeri di occupazione secondo: aαk |n1, . . . , nk, . . .〉 = ɛαk ({ni}) nk|n1, . . . , nk − 1, . . .〉 agiscono sulla base dei a † αk |n1, . . . , nk, . . .〉 = ˜ɛαk ({ni}) (1 − nk)|n1, . . . , nk + 1, . . .〉 (1.2) dove ɛαk ({ni}) e ˜ɛαk ({ni}) sono dei segni che vogliamo determinare dalla richiesta che gli osservabili di singola particella F (1) = i f (1) (ξi) siano rap- presentati da α,β particella: f (1) αβ a† αaβ. Partiamo dalla definizione degli stati ad una aαk |0, . . . , 0, . . .〉 ↔ ψαk (η) (1.3) Si vede facilmente che su questi stati F (1) = i f (1) (ξi) è in effetti rappresen- tato da (1) α,β f αβ a† αaβ con una scelta per i segni ɛαk e ˜ɛαk banale (cioè eguale ad 1). Consideriamo ora l’azione di F (1) = i f (1) (ξi) sugli stati a due particelle. Siano α1 e α2 gli indici associati, con α1 < α2. Nella rappresentazione 4
di prima-quantizzazione: F (1) ψα1α2 = [f (1) α = α
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13.1 Caso massivo Nel caso massivo
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13.1.2 La base dell’elicità Sia
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con ψ(x) ∈ H (1) , la forma bili
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sono dei campi che si trasformano r
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e forniscono una rappresentazione d
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15.2 Relazione tra P e C per gli sp
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dove λ è uno scalare. Ma poiché
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Deduciamo UC = β γ 0 C t U ∗ C
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cioè UC Γ t U −1 C = ∓Γ (15.
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Tornando alle equivalenze (16.9, qu
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Le funzioni d’onda di singola par
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dove Jy è il generatore delle rota
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la (17.26) diventa J D z e iθJ D
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La matrice UP deve pertanto soddisf
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Le condizioni di normalizzazione su
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19.2 Matrici densità per il campo
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Consideriamo ora il commutatore (20
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dove abbiamo definito la funzione d
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21.2 Propagatore per il campo di Di
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Poiché = = la (22.9) diventa d Γi
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22.2.2 Diffusione da potenziale In
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Dobbiamo dunque determinare ˙¯x(T
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che è un espressione divergente. C
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L ω = − 2 √ ∞ π → ɛ→0
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dove la traccia nel secondo membro
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e dell’azione effettiva Seff(B) p
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ɛ > 0. Questo equivale a definire
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dove ψ1(x1, t1) e ψ2(x2, t2) sono
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In questo caso possiamo supporre ch
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dove kz è la componente di k lungo
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