Appunti di Fisica Teorica - INFN

In altre parole la legge di trasformazione degli operatori di campo ˆ ψ (σ) (x)
sotto G è identica in forma a quella delle funzioni d’onda di singola particella
(11.4).
Parte II
Teoria Relativistica
12 Relazione tra gruppi ed algebre di Lie
Sia G un gruppo di Lie (un gruppo con una struttura di varietà), sia e ∈ G
l’identità. Data g ∈ G, definiamo il map su G, detto “moltiplicazione a
sinistra”:
lg: G → G
lg(x) = g · x per ∀x ∈ G
I campi vettoriali ˆ X su G invarianti a sinistra sono i campi vettoriali invarianti
per lg, qualunque sia g:
l ∗ g ˆ X = ˆ X (12.1)
ovvero,
ˆXg(φ) = ˆ Xe(φ ◦ lg) (12.2)
dove φ(x) è una funzione locale (un germe) in un intorno Ug di g. Scriviamo
la condizione di invarianza a sinistra in coordinate locali. Sia
ˆX =
v i (x)∂i
i
(lg(x)) i = π i (x; xg)
π i (x, 0) = x i
π i (0, xg) = x i g
(12.3)
dove x i g sono coordinate locali del punto g, x i coordinate locali di e, x =
0 sono le coordinate di e e i = 1, . . . dim G. I campi invarianti a sinistra
soddisfano dunque la condizione
v i (xg) = v j (0) ∂πi (x, xg)
∂x j
49
x=0
(12.4)