Appunti di Fisica Teorica - INFN

Dunque
˜C = V C (V −1 ) ∗
(15.78)
Introduciamo la matrice UC che implementa le trasposizioni sulle matrici
di Dirac
γ t µ = −U −1
C γµ UC (15.79)
Dalla condizione (γ t µ) t = γµ otteniamo
Dunque
γµ = U t C U −1
C γµ UC (U −1
C )t
U t C = α UC
(15.80)
(15.81)
dove α è un numero. Deduciamo la legge di trasformazione per UC per cambio
di rappresentazione
γµ → ˜γµ = V γµ V −1
(15.82)
Abbiamo
˜γ t µ = (V −1 ) t γ t µ V t = −(V −1 ) t U −1
C γµ UC V t = −(V −1 ) t U −1
C V −1 ˜γµ V UC V t
Dunque
ŨC = V UC V t
(15.83)
(15.84)
Notiamo quindi che la relazione (15.81) non dipende dalla rappresentazione
ed è inoltre indipendente dal fattore moltiplicativo in UC lasciato arbitrario
dalla definizione (15.79). Pertanto α è un numero intrinseco, indipendente da
tutte le scelte arbitrarie implicite nella definizione di UC. Possiamo calcolarlo
in una qualunque rappresentazione, per esempio nella spinoriale. In questo
caso UC = γ 0 γ 2 e quindi α = −1. In conclusione, otteniamo la relazione
valida in qualunque rappresentazione
U t C = − UC
(15.85)
In una generica rappresentazione unitariamente equivalente alla rappresentazione
spinoriale abbiamo inoltre
Per queste rappresentazioni pertanto
γ † µ = γ 0 γµ γ 0
γ 0 γµ γ 0 = −C t γ t µ (C −1 ) t = C t U −1
C γµ UC (C −1 ) t =
= (U −1
C )∗ C −1 γµ C (UC) ∗
72
(15.86)
(15.87)