Appunti di Fisica Teorica - INFN

(in altre parole, per q ∈ I, il momento coniugato alla coordinata ξq = ξ+ q +i ξ − q
√ è
2
πq = π+ q −i π − q
√ ). L’Hamiltoniana come funzione delle coordinate e dei momenti
2
complessi ξq e πq non è veramente diagonale (perchè U soddisfa Eq. (6.9) e
non Eq.(6.3)):
H = π2 0
2m
+
q
π−q πq
2m
1
+
2 k λq
ξ−q ξq
(6.32)
È pertanto necessario, per diagonalizzare H, definire i seguenti gli operatori
di distruzione e creazione
Aq =
A † q =
in termini dei quali l’Hamiltoniana si scrive
H = π2 0
i
2ωqm (π−q − imωqξq) (6.33)
−i
2ωqm (πq + imωqξ−q) (6.34)
2m +
q=0
ωq(A † qAq + 1
) (6.35)
2
Si noti che T Aq T † = ζ q Aq in quanto ξq e π−q hanno la stessa dipendenza
da xi e pi. Da questo segue che
T A † q|0〉 = ζ −q A † q|0〉 (6.36)
cioè gli stati creati da A † q sono autostati dell’operatore traslazione discreto
T .
Notiamo che ξq si scrive in termini degli operatori di creazione e dis-
truzione:
ξq =
2 ωq m (Aq + A †
−q) (6.37)
Pertanto le coordinate originali xi si esprimono come
xi =
1
2
√
N q
1
2 ωq m (ζ−qi Aq + ζ qi A † q) (6.38)
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